杨梅 王泽军 杨立敏 高洁

【摘要】用定积分求平面曲线的弧长是定积分在几何上的一个典型应用.在用微元法推导极坐标下平面图形面积公式过程中，用小扇形面积近似代替小曲边扇形面积，受此启发，本文先提出猜想：极坐标下弧长的计算公式是否可由s=∫βαr（θ）dθ给出？接着用例题及严格的证明指出极坐标下弧长公式一般只能是s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ，而不能为s=∫βαr（θ）dθ.但在特殊情形下，即当r′（θ）=0时，s=∫βαr（θ）dθ与s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ两公式都适用.

【关键词】微元法;极坐标;定积分;平面曲線弧长

【基金项目】中国石油大学（北京）克拉玛依校区教学改革项目（JG2020042）

一、基本概念

1.光滑曲线：若x′（t），y′（t）在[a，b]上连续，且[x′（t）]2+[y′（t）]2≠0，则由参数方程x=x（t），y=y（t）t∈[a，b]确定的曲线称为光滑曲线.

2.极坐标形式下的弧长定义：设平面曲线弧C的极坐标方程为r=r（θ），θ∈[α，β]，则由直角坐标与极坐标关系可得

x（θ）=r（θ）cos θ，y（θ）=r（θ）sin θ θ∈[α，β].

设P={θ0，θ1，…，θn}是[α，β]的一个划分，即

α=θ0<θ1<…<θn=β，

它们在曲线弧C上对应的点为

M0=（x（θ0），y（θ0）），

M1=（x（θ1），y（θ1）），…，

Mn=（x（θn），y（θn））.

从端点M0开始用线段依次连接分点M0，M1，…，Mn，得到曲线的一条内接折线，用|Mi-1Mi|（i=1，2，…，n）来表示折线Mi-1Mi的长度，则内接折线总长度为

Ln=∑ni=1Mi-1Mi

=∑ni=1[x（θi）-x（θi-1）]2+[y（θi）-y（θi-1）]2.

令λ=max{Δθi}（i=1，2，…，n），若极限

limλ→0∑ni=1Mi-1Mi=

limλ→0∑ni=1[x（θi）-x（θi-1）]2+[y（θi）-y（θi-1）]2

存在，那么称此极限为曲线弧C的弧长，并称此曲线弧C是可求长的.

3.极坐标形式下的弧长公式：设平面曲线弧由极坐标方程r=r（θ），θ∈[α，β]给出，r（θ）在[α，β]上具有连续导数，则弧长元素为

ds=r2（θ）+r′2（θ）dθ，

从而所求弧长为

s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ .（1-1）

4.利用微元法求分布在区间[a，b]上不均匀的量Q总量的步骤：

（1）在区间[a，b]中任取小区间[x，x+dx]，将[x，x+dx]上分布的量ΔQ用f（x）dx近似表达;

（2）检验f（x）dx是否满足f（x）∈C[a，b]且

ΔQ-f（x）dx=ο（dx），（dx→0）;

（3）若ΔQ-f（x）dx=ο（dx），（dx→0）成立，则

Q=∫baf（x）dx.

上述步骤中，最为关键的是第二步.对于实际应用中的大部分问题，我们都容易找到满足条件的f（x）dx，比如：在直……