张卫新

【摘要】解直角三角形实际问题是各地中考必考大题，阅读题目根据题意画出几何图形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，一般来说，由观测点向要求目标线段所在直线做垂线段是基本方法.本文从模型构建的角度讲解此类中考大题.

【关键词】直角三角形;应用题;数学解题

1 两条观测线（视线）夹角为锐角，被观测点在同一条水平（或竖直）直线上的类型

这种模型中有两条观测线，夹角是一个锐角，被观测点在水平直线上，三条直线围成了一个斜三角形，也是一个钝角三角形.题目中看不到直角三角形，所以构造直角三角形成了做题的设想和基本思路，我们先来看看张家界2021年中考题的新颖题面及美妙解法.

中考真题呈现 张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点.某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度.如图1，在桥面正下方的谷底选一观测点A，观测到桥面B，C的仰角分别为30°，60°，测得BC长为320米，求观测点A到桥面BC的距离.（结果保留整数，参考数据：3≈1.73）.

解答过程展示 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图1右图所示，根据题意得∠B=30°，∠ACD=60°，BC=320m，

因为∠CAB=∠CAM-∠BAM

=60°-30°=30°，

所以∠B=∠BAC，

所以CA=CB=320m，

在Rt△ACD中，∠DCA=60°，

所以sin∠ACD=ADAC，即sin∠60°=AD320，

所以AD=320×32

=1603

≈277（m）.

答 觀测点A到桥面BC的距离是277米.

从题中看不到直角三角形，基础不好的考生就会陷入僵局，没了思路，我们不难发现：

过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，就得到了如图1右图所示的双直角三角形模型，是两个重叠一起的直角三角形，这使得俯角就分别成了两个三角形的内角.

根据俯角的定义和平行线的性质得到∠B=30°，∠ACD=60°，BC=320m，接着证明CA=CB=320m，然后利用正弦的定义求出AD的长即可.

这种化斜为直的转化思路真是美妙绝伦.这是个两个俯角的题目，我们一起来赏析下面的方向角和仰角的相关题目.

方向角相关题目 如图2，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？（2020年铜仁市中考）.

解答过程 过点C作CD⊥AB，垂足为D.如图2右图所示：根据题意可知

∠BAC=90°-60°=30°，

∠DBC=90°-30°=60°，

因为∠DBC=∠ACB+∠BAC，

所以∠BAC=30°=∠ACB，

所以BC=AB=60km，在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=60°，sin∠CBD=CDBC，

所以sin60°=CD60，

所以CD=60×sin60°

=60×32

=303（km）>47km，

所以这艘船继续向东航行安全.

仰角相关题目 如图3，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A，B，C在同一直线上，求古树CD的高度.（已知：2≈1.414，3≈1.732，结果保留整数，2020年湖南省怀化市中考）.

解答过程 由题意可知，AB=20，∠DAB=30°，∠C=90°，∠DBC=45°，

因为△BCD是等腰直角三角形，

所以CB=CD，

设CD=x，

则BC=x，AC=20+x，

在Rt△ACD中，

tan30°=CDCA

=CDAB+CB

=x20+x

=33，

解得x=103+10

≈10×1.732+10

=27.32≈27，

所以CD=27，

答：CD的高度为27米.

对应练习（俯角相关题目） 如图4，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度.