章建忠

【摘要】初中数学教学中渗透模型思想，可使学生更好地把握、深入地理解数学知识本质，尤其用于解答数学习题中，可提升解题效率.通过展示二次函数模型、将军饮马模型、阿氏圆模型、胡不归模型、费马点模型在解题中的应用，以供参考.

【关键词】模型思想;初中数学;课堂教学

模型思想是初中数学中非常重要的思想[1].教学实践中应充分认识到模型思想的重要作用，既要结合具体教学内容做好数学模型理论知识讲解，又要做好常用模型的总结，并围绕具体例题展示相关模型地应用，使学生更好地掌握相关模型的应用思路，把握相关应用细节.

1 二次函数模型

求解最值问题时常使用二次函数模型，即，根据题干创设的情境，灵活运用几何图形性质构建二次函数关系，部分习题还需做出辅助线，以更好地找到线段、角度关系.结合二次项系数的正负找到其顶点，在二次函数顶点处取得最大或最小值.需要注意的是运用二次函数求解最值时应认真分析自变量范围[2].

例1 如图1，Rt△ABC中，∠C和∠A分别为90°，30°，BC=10.在三边上各取一点，连成等边△DEF，则△DEF面积的最小值为.

该题难度不大，结合经验可知需要借助二次函数模型进行解答.借助几何性质合理设出参数，并运用三角形全等找到线段、角度的等量关系，借助勾股定理，构建二次函数，运用二次函数性质，便可求出△DEF面积的最小值.

过点E作EM⊥AB于点M，如图2.由△DEF为等边三角形可知，EF=DE，∠DEF=60°.∠CEF=120°-∠BED.由∠C=90°，∠A=30°，则∠B=60°，则∠MDE=120°-∠BED，则∠CEF=∠MDE，易得△CEF≌△MDE，则CE=MD，CF=ME.设CE=x（0

2 将军饮马模型

在初中阶段将军饮马模型又称“路径最短模型”.这一模型在初中数学课本中有所讲解.为提高学生运用该模型解题的灵活性，应给予学生引导，使学生把握该模型的本质以及相关细节，即，运用该模型解答习题的关键在于判断寻找哪个点的对称点.同时，还应能够透过现象看本质，基于对该模型的深入理解，判断相关习题是否适用该模型[3].

例2 如图3，平行四边形ABCD中AB、BC的边长分别为4、12，∠ABC=60°.AD边上存在两动点E、F，且EF的长为2，则四边形BECF周长的最小值为.

结合从将军饮马模型获得的启发，作已知点的对称点，将四边形周长最小问题转化为求线段最短问题，借助三角形三边关系，确定点F的具体位置，问题便迎刃而解.

在BC上取一点B′，使得BB′=2.作B′关于点AD的对称点B″.在AD上截取EF=2.点连接B′F、B″F，则B′F=B″F，如图4所示.四边形BECF的周长为BE+EF+FC+BC，其中EF和BC为定值分别为2和12，则问题转化为求BE+FC的最小值问题.根据题意以及上述描述已知四边形BB′FE为平行四边形，即B′F=BE，则BE+FC=B″F+FC，显然当B″、F、C三点共线时B″F+FC最短，长为B″C.由∠ABC=60°，可得AB′=BB′tan60°=23，则B′B″=43，B′C=BC-BB′=12-2=10.在直角△B′B″C中由勾股定理可得B″C=102+（43）2=237，则四边形BECF周长的最小值为2+12+237=14+237.

3 阿氏圆模型

阿氏圆模型在初中数学习题中常有考查.为使学生更好地掌握阿氏圆模型，教学实践中应注重运用多媒体技术与学生一起推导相关结论，使学生能够牢固记忆，深入理解，掌握运用阿氏圆模型求解最值问题的思路，即，根据题干创设的情境，敢于设出点构造三角形，借助三角形相似，寻找线段之间的等量关系，借助等量代换使得问题顺利解决.

例3 如图5，ABCD是边长为4的正方形，内切圆为圆O.P为圆上一动点，则2PA+PB的最小值为.

到平面兩点距离之比为k（k≠1）的点的轨迹为圆，该圆称为阿氏圆.初中数学中常通过构造相似三角形，求解线段之和的最小值问题.该题基于对阿氏圆模型的理解，不难寻找到解题思路.

由2PA+PB=2（PA+22PB），将问题转化为求PA+22PB的最小值.运用阿氏圆模型进行解答.根据题意容易得知圆O的半径r=OP=2，OB=22.取OB的中点为I，连接PI，如图6，则OI=IB=12OB=2，易得OIOP=OPOB=22，则△OIP∽△OPI，则PIPB=OIOP=22，则PI=22PB，则PA+22PB=PA+PI.由图6可知当A、P、I三点共线时两线段之和最小.过点I作IE⊥AB垂足为点E，则∠IBE=45°，则IE=EB=1，则AE=AB-EB=4-1=3.在△AIE中由勾股定理可得AI=32+12=10，即，PA+22PB的最小值为10，2PA+PB的最小值为2×10=25.

4 胡不归模型

胡不归模型是初中数学中非常重要的模型.为使学生更好地掌握该模型，激发学生的学习兴趣，应注重为学生讲解有关该模型的故事[4].同时，在课堂上积极与学生互动，为学生指点迷津，尤其引导其积极讨论，使其亲自动手证明胡不归模型的相关结论，更好地把握胡不归模型的本质，为其灵活应用奠定坚实基础.

例4 已知在等腰△AEC中AC=CE，∠CAE=30°.以半径为5的圆经过AC两点，且直径AB在线段AE上.CE为圆O的切线.D为线段AC上任意一点（不含端点），如图7，则OD+12CD的最小值为.

解答该题的关键在于胡不归模型的应用.该题中过点C作射线CP，使得sin∠ACP=12.过点O向CP作垂线，垂足为K，OK就是要求的结果（可由学生自己证明）.

由模型可知，作∠ACP=30°，过点D作DH⊥CP于点H.则DH=CDsin30°=12CD.求OD+12CD的最小值，即，求OD+DH的最小值.過点O作OK⊥CP于点K，如图8，显然当点O、D、K三点共线时OD+DH的值最小.由∠CAE=30°，则∠ACO=30°，则∠PCO=∠ACP+∠ACO=60°，OK=OCsin∠PCO，而OC=5，则OK=5×sin60°=532.

5 费马点模型

费马点模型是非常有趣的数学模型.解题中应用费马点模型可少走弯路，提高效率[6].教学实践中，为使学生能够熟练应用，以达到迅速解题的目的，应注重创设相关问题情境，预留空白时间，给予学生针对性的点拨，要求其亲自动手进行推理、证明，而非死记硬背结论.

例5 如图9，在等腰直角△ABC中，∠BAC为直角，AB、AC为腰.点P为AB边上的动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q.当QA+QB+QC取得最小值，且AQ=2，则PD的长为.

费马点模型是非常重要的模型.若三角形中最大内角小于120°时，内部存在一点（费马点）到三角形三个顶点距离之和最小，且该点和三个顶点的连线所成的角为120°.若三角形最大内角大于或等于120°，费马点就是这个最大内角的顶点.该模型的证明可给该题的解答带来指引，证明过程可由学生自己完成.

将△BQN绕着B点顺时针旋转60°到△BNM，连接CM.如图10所示.则由费马点模型可知，A、Q、N、M共线，△BQN为等边三角形，∠BQD=60°，∠BQC=∠AQB=∠AQC=120°.易得∠MBC=60°，则△BMC为等边三角形，BM=MC，由AB=AC，则△ABM≌△ACM，则AM垂直平分BC，则AD⊥BC，因此，点P和点A重合.问题转化为求AD的长.由∠BAD=45°可知，BD=AD.设AD=BD=x，则QD=x-2，在△BQD中，xx-2=tan60°，解得x=3+3.

6 结语

综上所述，解答初中数学习题时运用模型思想可迅速找到解题思路，达到事半功倍的解题效果.教学实践中应通过模型思想的理论指导、例题讲解，提高学生对模型思想地认识.同时，在讲解相关习题的求解过程后，应注重给学生留下空白时间，要求其做好听课和整理，把握不同模型的应用细节，掌握相关应用技巧.

参考文献：

[1]卜建红.初中数学教学中数学模型思想的渗透[J].数理天地（初中版），2022（01）：78-80.

[2]施金花.如何将模型思想融入初中数学教学[J].数理化解题研究，2021（35）：4-5.

[3]欧琼华.初中数学教学中融入模型思想的策略[J].名师在线，2021（18）：66-67.

[4]邱宗如.初中数学模型思想的教学实践与思考[J].福建中学数学，2020（08）：43-45.

[5]张世恩.基于初中数学模型思想的靶向教学实践研究[J].中学数学，2019（24）：82-84.

[6]刘心玥.初中数学模型思想的应用及其培养——以方程模型思想为例[J].试题与研究，2019（34）：45.