刘佳

［摘  要］ 解题反思在深化知识理解、强化方法意识、提炼数学模型、提高数学能力等方面有着重要的应用价值，是解题教学的重要组成部分之一. 在解题教学中，教师要鼓励学生进行解题反思，在反思中实现自我优化、自我完善、自我建构，从而提高综合学力.

［关键词］ 解题反思；解题教学；综合学力

解题反思是解题教学的重要一环，它关系着学生思维能力的发展和解题能力的提升. 不过，在实际教学中，为了追求解题的“量”，解题反思大多以教师为主，教师大多直接给出自己的优化思路，点明其中蕴含的思想方法等内容，这样，学生没有经历自我反思过程，往往难以发现解题过程中的优点和缺点，这样的解题反思形同虚设，难以让学生在反思中有所收获. 因此，在教学中，教师应该为学生提供一定的反思时间和反思空间，通过一些有效的引导和训练方法，引导学生进行深度思考，以此激活学生的解题经验，优化学生的元认识，提升学生的自主学习能力，培养学生良好的解题习惯和解题态度，进而从根本上提高解题效率. 下面，笔者结合具体案例谈几点落实解题反思的方法，若有不足，请指正.

在思维受阻时鼓励学生反思

数学问题抽象、复杂，学生解题时难免会出现思维受阻的情况，此时教师不要急于给出解题过程，可以尝试通过一些有针对性的、启发性的问题进行引导，鼓励学生通过尝试、探索、反思，寻找解题思路，提升解题信心.

例1如图1所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，分别以AD，BC为边向两边作正方形ADEG和正方形CBHF，线段CD的垂直平分线交线段EF于点M. 求证：M为EF的中点.

问题给出后，教师鼓励学生独立完成（教师巡视）. 几分钟后，教师发现部分学生依然没有找到证明的思路，便边走边说：“这个证明确实有一定的难度，大家不要着急，静下心来想一想，看看能不能做一些变化. 如果将梯形ABCD变一变，你会不会证明呢？”在教师的暗示和鼓励下，学生的思维活跃起来.

通过知识间的内在联系，学生联想到：该结论既然对梯形成立，那么改变梯形上底边的长，其结论同样成立. 假如梯形的上底CD的长变为0，梯形就变成了三角形，那么是否可以在变化的图形中找到解决问题的方法呢？顺着这个思路，学生将问题做了如下变化：如图2所示，在△ABC中，分别以AC，BC为边作正方形ACEG和正方形BCFH，连接EF，过点C作AB的垂线l交EF于点M，垂足为K. 求证：M为EF的中点.

做了改变后，学生可以分别过点E和点F作直线l的垂线，垂足分别为I，J. 由已知条件容易证明Rt△CEI≌Rt△ACK，Rt△CFJ≌Rt△BCK，故有EI=FJ=CK，由此可证M为EF的中点. 学生将简化后的证明方法带回原题，问题迎刃而解.

分析以上过程不难发现，数学解题过程其实就是一个不断尝试、不断探索的过程，解题思路的形成往往源于学生对问题本质的把握，源于学生对不同类别知识内在联系的感悟，而这些内容往往难以通过讲授来实现. 因此，在教学中，教师要提供一些机会让学生进行自主探究和反思实践，在探究和反思的过程中认清问题的本质，逐渐形成解题策略，优化认知结构. 同时，解题后教师要引导学生进行反思和回顾，及时提炼数学思想和方法，以此培养学生良好的解题习惯和数学素养.

在优化解题过程中鼓励学生反思

解题时容易发现，对于同一个问题，若解题思路不同，计算量也会有所不同. 从解题效率的角度来讲，计算量越小，解题效率就越高，错解的风险也就越低. 因此，解题后，教师要引导学生对解题过程进行反思，要引导学生尝试通过不同的解法优化解题过程，规避复杂运算，从而提高解题效率.

例2若实数x，y，z满足=1，=2，=3，求x的值.

学生独立求解，教师巡视，并指定学生板演解题过程.

生1：由=1，得y=，由=2，得z=，所以z==，将其代入=3，化简后得=3，由此解得x=.

师：很多学生都运用了与生1相同的解决方案. 观察以上解题过程，你有什么想法？

生2：以上过程虽然能够得到答案，但是运算过程有些烦琐，解题效率比较低. 根据已知条件，感觉这个问题应该有其他的求解方法，不过我还没有发现.

师：说得很好. 解题时，我们不能单纯地追求结果，还要关注过程. 观察以上式子的结构特征，你们能找到一个好一点的方法吗？（学生积极思考）

生3：由=1，有=1，于是有+=1①；由=2，有=，于是有+=②；同理可以得到+=③. 由①+②+③，得

可見，通过反思和再认识，能实现运算过程的优化，能提高解题效率，能有效避免复杂运算所带来的错解风险，能提高解题准确率. 因此，在解题教学中，教师不要解题后就草草了事，而应引导学生进行有效的反思，尝试寻找解题中存在的不足，鼓励学生通过再认识、再思考发现其他解题路径，从而不断优化解题过程，提高学生分析问题和解决问题的能力.

在命题的拓展与延伸中鼓励学生反思

在解题教学中，若仅限于“就题论题”地单一讲授，学生很难进入深度思考，这样的教学方式不利于学生思维能力的提升. 在实际教学中，教师要善于通过一题多解、一题多变等方式促进学生对问题本质的理解，提高学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.

例3如图3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点. 求证：CE⊥BE.

例3是一道典型的平面几何证明题，在中考中较为常见. 分析例3不难发现，其证明方法不唯一，因此教师可鼓励学生尝试运用不同的方法进行证明.

方法1如图4所示，延长CE交BA的延长线于点G. 通过证明△CED≌△GEA，得到CE=GE，AG=DC，所以GB=BC. 所以CE⊥BE.

方法2如图5所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F，可结合已知条件，根据勾股定理及其逆定理进行证明.

方法3取BC的中点H，连接EH，通过添加中位线的方法进行证明.

运用不同的方法进行证明后，教师鼓励学生对比分析不同的解题方法. 比较方法2和方法3容易发现，方法2运用了“∠A=90°”这一条件，而方法3并没有使用这一条件，这就是说，其实原题中的条件可以削弱. 另外，已知条件给出了边的长度的具体数值，但是运用方法1和方法3证明时，只需要条件“BC=AB+CD”，不需要具体的数值，所以原题中的条件“AB=2，BC=3，CD=1”也可以弱化. 此外，通过证明容易得到如下两个结论：①BE与CE分别为∠ABC，∠BCD的平分线；②S=S. 通过对比分析，教师可以对原题进行改编.

变式  在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD的中点，连接CE，BE.

（1）求证：CE⊥BE；

（2）BE，CE分别为∠ABC，∠BCD的平分线；

（3）S=S.

在证明结论“S=S”时发现条件“BC=AB+CD”并无依赖性，为此可得到这样的结论：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中点，则有S=S. 继续探究命题中条件与结论之间的关系，可得到逆命题：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD上一点，若S=S，则E是AD的中点.

通过拓展、延伸，将一个命题转化为多个命题，再利用对比分析理清问题的来龙去脉，能加深学生对问题本质的理解，优化学生的认知. 由此可见，解题时，教师既要鼓励学生进行多角度探究，又要引导学生对不同解法进行有效的对比分析，以此理解问题的本质. 另外，在保持问题本质特征不变的情况下，“一题多变”能开阔学生的视野，能帮助学生积累解题经验，能提升学生的数学素养.

在错解中鼓励学生反思

在解题过程中，错误是不可避免的，教师对待错误的态度直接影响着学生解题能力的提升. 若面对错误教师只是一笔带过，那么学生难以对错误形成深刻的印象，解题时会出现“一错再错”的现象，因此，对错误进行反思势在必行. 进行错误反思时，教师要引导学生进行错解分析，探明产生错误的原因，并充分挖掘错误资源，让学生经历由“误”到“悟”的过程，从而深化对知识的理解，避免“一错再错”.

例4四邊形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且满足AB=CD，有下列四个条件：①OB=OC；②AD∥BC；③=；④∠OAD=∠OBC. 若只增加一个条件，使得∠BAC=∠CDB成立，则这个条件可以是（      ）

A. ②④          B. ②

C. ③④            D. ④

例4是一道由结论探究条件的试题，具有一定的开放性. 该题的正确率不高. 调研分析后发现，学生之所以出现错误，主要有以下两个原因：一是审题不清，忽视了“只增加一个条件”这一要求，错误地选择了A，C；二是探究不全面，当AD∥BC时，若AD≠BC，则四边形ABCD为等腰梯形，∠BAC=∠CDB成立；当AD∥BC时，若AD=BC，则四边形ABCD为平行四边形，则∠BAC=∠CDB不一定成立，因未进行有效的分类讨论，而错误地选择了B. 这样有效的错因分析，能发现学生的思维漏洞；这样有效的修补，可以有效地提高学生的解题技能，避免“一错再错”“会而不对”等现象的发生.

总之，在解题教学中，师生一定要灵活地运用好“反思”这一有力武器，充分发挥“反思”在优化解题思路、提升解题技能、优化认知结构等方面的作用，助力学生学习能力的全面提升.