邱信林

多元变量最值问题具有较强的综合性，涵盖的知识点较多，因而可从多个不同的角度来寻找解题的思路.常用的解题思路有换元、利用基本不等式、构造几何图形、运用导数法等.本文重点探讨三种求解多元变量最值问题的思路.

一、换元

由于多元变量问题中有多个元，不方便处理，所以在解题时，可根据已知关系式或函数式的特征，选择合适的式子用新元替换，这样便将多元变量问题转化为关于新元的函数或者不等式问题，利用函数的图象和性质、不等式的性质求得最值.

例1.已知函数 f（x）=x2+2x -1，若 a <b <-1，且 f（a）=f（b），求 ab +a +b 的最值.

因为 f（a）=f（b），

由图可知，a<- -1<b <-1，

且（a +1）2+（b +1）2=4.

则 ab +a +b =a +1（b +1）-1=2 sin 2θ-1.又-< sin θ<0，即θ∈（π，），

则2 sin 2θ-1∈（-1，1），

所以ab +a +b 的最大值为1，最小值为-1.

解答本题，主要运用了三角换元法，将 a、b 用sinθ、cos θ替换，从而将双变量最值问题转化三角函数最值问题，再运用正弦函数的有界性求得最值.

二、运用基本不等式

基本不等式是解答双变量最值问题的重要工具.在解答多变量最值问题时，可灵活运用基本不等式：a +b ≥2 及其变形式： ≤ ≤ 、a1+a2+…+an ≥nn，将目标式进行变形，利用一些配凑技巧，如添减项、凑系数、配方等，构造多个式子的和或者积，并使其中之一为常数或者定值，即可运用基本不等式来求得最值.

例2.已知 a 为1+2b 与1-2b 的等比中项，求a +2b 的最大值.

解：由题意可知： a2+4b2=1，令 x =a ，y =2b ，且x，y均大于0，可得 x2+y2=1，

所以a +2b = x +y ≤2 =2≤ 4≤ = ，当且仅当 x =y = 时等号成立.

对比 a2+4b2=1和a +2b 可以发现，a2的系数为1，b2的系数为4，b 的系数为2，因此对双变量作换元处理，两次运用基本不等式求得最值.在多次运用基本不等式求最值时，要注意……