江西省莲花中学 (337100) 周秋良

1.课本习题再现

人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册》(以下称文[1])第23页习题10如下：

当然，本题也可以由数形结合法获解，限于篇幅，不再展示，有兴趣的读者可以自己尝试做一下.

接下来，我们对问题进行变式，更进一步对问题解决思路背后所隐藏的本质进行剖析，获得通性通解.

2.变式问题训练

评析：在本变式中，虽然无法直接采用已知条件给定的向量作为基底，但是通过换元，引入新的向量，获得新的基底，使问题回到原来最初的模样，结果也就一目了然了.

有了变式1的解法，此处自然而然想到用换元的方法来寻找新的基底.

评析：在本变式中，一如既往地通过换元，引入新的向量，获得新的基底，以新基底构建新的向量大厦，使问题焕发出新的生机与活力.虽然问题形式上有所改变，但解题的思路本质没有变化，这也是解题过程中通性通法的魅力所在.

当然，用换元的方法来寻找新的基底，依然可以解决此问题.

此处如果沿用变式3的解法1，将无法顺畅地进行下去，此方法失效.因此还是想办法构建新的基底，在新的基底下让问题得以转化，变成我们熟知的问题.

评析：在本变式的解法中，再次体现出构造新的基底，构建新的向量大厦，使问题的本质依旧本色不改，具有新的生命力，给人一种万变不离其“基”的强烈感受.

3.通性通法提炼

步骤1：保留已知条件中的一个模长确定的向量作为新基底的一个基向量；

步骤2：通过换元、配方、求模来确定新基底的另一个基向量；

步骤3：将所求目标问题用新基底加以表示；

步骤4：利用已知向量不等式对问题进行求解.

4.拓展问题提升

评析：本拓展看似给定的条件无法直接作为基底，但是对其一换元，立刻呈现出我们所期待的样式.转化与划归思想，是我们思考问题的根本出发点，也是我们解决问题屡试不爽的法宝.立足“基底”这一核心，沿着构建新基底的基本思路走，是问题得以最终解决的基本方向.

5.小结反思升华

本文通过立足构建平面向量“基底”，使平面向量取值范围问题得以转化，并最终应用已知不等式让问题得以解决.通篇下来，我们通过一题多变，构造出多个看似不同的问题，实质上具有很大相似性的问题，反反复复通过构造新“基底”，让不同的问题转化为相似的问题，用相类似的方法解决问题，揭示了这些问题所蕴涵的共性解决思路背后所隐藏的奥秘.实现了多题一解的目的，让我们在解题教学过程中收获了一次思维上的体操训练.

在高中数学教学过程中，我们无法回避解题教学，如何解题？如何让解题快速有效？如何让问题的解决有助于学生对数学知识的理解与掌握？如何让数学问题焕发出新的生机与活力？……这诸多问题，不仅是高中学生孜孜不倦想要获得答案的问题，也是我们高中一线数学教师一直津津乐道的问题，更是数学研究工作者为之付出辛苦汗水兢兢业业想要解决的问题.