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直观感知 大胆猜想 小心求证
——以几道高考数列题求解为例

2022-05-08闽南师范大学附属中学漳州二中363000黄其芳

中学数学研究(江西) 2022年5期
关键词:公差通项等式

闽南师范大学附属中学(漳州二中) (363000) 黄其芳

数列作为高中数学的一个重要组成部分,是历届高考试题考查的重点,难点.数列的表示通常有图象法、列举法、通项公式、递推关系.高考数列试题中,数列的表示往往以抽象的形式出现(一般给出其递推关系),为此需要将其直观化,通过递推关系及首项,列举出数列各项的取值,从而猜想其通项公式,或把数列的各项用图形给予表达,进而确立解题的思路.下面通过几道高考数列试题加以说明.

(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.

分析与解:(1)由题目中给出数列{an}的递推公式可知,数列{an}中的偶数项是等于其前一项加1,奇数项是等于其前一项加2其首项为1,又a1=1,为此我们列举数列的前几项,直观感知数列各项的值,a1=1,a2=2,a3=4,a4=5,a5=7,a6=8,….所以b1=2,b2=5,b3=8,猜想数列{bn}是首项为2,公差为3的等差数列, 因为bn+1-bn=a2n+2-a2n=a2n+1+1-a2n=a2n+2+1-a2n=3,所以猜想成立,则bn=3n-1.

(2)同(1),设cn=a2n-1,又c1=1,c2=4,c3=7,猜想数列{cn}是首项为1,公差为3的等差数列, 因为cn+1-cn=a2n+1-a2n-1=a2n+2-a2n-1=a2n-1+1+2-a2n-1=3,所以猜想成立,则cn=3n-2.所以{an}的前20项和为a1+a2+…+a19+a20=(c1+c2+…+c10)+(b1+b2+…+b10)=5(1+28)+5(2+29)=300.

例2 (2021年八省联考第17题)已知各项都为正数的数列满足an+2=2an+1+3an.

(1)证明:数列{an+an+1}为等比数列;

例3 (2020年全国I卷文第16题)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=.

分析与解:题中递推关系式关系不明显,为此我们先列举几项观察规律.由已知a3-a1=2,a4+a2=5,a5-a3=8,a6+a4=11,a7-a5=14,a8+a6=17,a9-a7=20,a10+a8=23,a11-a9=26,a12+a10=29,… ,则发现a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41,又a3=a1+2,a5=a1+2+8,a7=a1+2+8+14,a15=a1+2+8+…+38,所以a1+a3+…+a15=8a1+2·7+8·6+14·5+20·4+26·3+32·2+38·1=8a1+392,所以S16=a1+a2+…+a16=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a16)=8a1+484=540,所以a1=7.

例4 (2014年新课标Ⅰ卷理第17题)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.

(1)证明:an+2-an=λ;(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

分析与解:(1)略;(2)由(1)及已知条件得出数列各项为,1,λ-1,λ+1,2λ-1,…,若{an}为等差数列,则2(λ-1)=1+λ+1,解得λ=4;当λ=4时,数列各项为1,3,5,7,…,猜想{an}为等差数列,且公差为2.下面用数学归纳法证明:当λ=4时,an+1-an=2,n∈N*;当λ=4时, ①a2-a1=3-1=2,所以n=1时等式成立;②假设ak+1-ak=2,∀k∈N*,则由(1)及假设得ak+2-ak+1=ak+4-ak+1=4-2=2,所以n=k+1时,等式也成立.由①②可知该等式成立.

例5(2014年高考全国Ⅱ卷理第17题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;

图1

由上面几道数列试题的解题过程,我们可以看出,若能将数列的项具体化、直观化,则能帮助我们从不同视角理解题意,明确这道题的解题方向,因为解题思路的产生更多的源于直觉,源于我们对这道题目的直观判断,除非它是常规的题型,预期这道题的最终结果.直觉意义往往可以超越逻辑步骤,捷足先登的直达目标,但具体到解答步骤,还是要回到数学的抽象表达,运用严密的数学推理.

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