上海市市西中学 (200040) 庞良绪

设a,b,c,R,r,s,Δ分别为△ABC的三边长、外接圆半径，内切圆半径，半周长与面积，∑表示循环求和.文[1]介绍了由D.M.Milosevic提出的如下不等式：

文[3]给出了不等式(1)的一个再加强与逆向.即在△ABC中，有

将不等式(1)中的正弦类比为余弦，文[4]提出了不等式(1)的一个类比.即在△ABC中，有

文[5]给出了不等式(2)的一个证明与加强.文[6]给出了Milosevic不等式的两个类似结论.

结论1 在△ABC中，有

本文给出(3)式与(4)式的加强结论.

定理1 在△ABC中，有

为证明不等式(5)与不等式(6)，先给出两个引理.

引理1[7]在△ABC中，有

引理2[8]在△ABC中，有

利用引理2，有

由引理1、引理2等号成立的条件知，当且仅当△ABC为正三角形时，不等式(5)两侧等号成立.

由引理1、引理2等号成立的条件知，当且仅当△ABC为正三角形时成立，不等式(6)两侧等号.