王思俭

[摘要] 新的一轮课程改革已经实施三年，本次课程改革倡导以生为本，旨在通过对数学核心素养的培养，完成立德树人的根本任务。而“单元整体教学设计”作为推进课堂教学改革及落实核心素养的重要途径，需要做好整体设计与整体统领下的后继学习，形成单元内部的连贯、单元与单元的一致性、数学与生活的应用性、数学与其他学科之间的创新性，体现数学学习的一般观点，以及研究问题的普适性。

[关键词] 单元设计;核心素养;概念课;数学思维

一、问题提出

目前课堂教学的实质改革仍然有限，教学方法仍然是“题型+方法”，这扼杀了学生的创造性思维。究其原因，主要受高考“唯分数”指挥棒的影响，以高考升学率为目标，以一本率为评价标准，将数学内容碎片化为知识点，采用“微专题”轰炸，再通过所谓“二级结论”进行“灌输+记忆”的教学方式强加给学生，再总结“秒杀、妙解”等刷题“特技”，用来提高高考分数，这种模式不利于学生夯实基础、提高能力，不利于发展数学核心素养，更不利于提高学习数学的兴趣，增强数学学习的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力[1]等课程目标的实现。所以，课堂教学必须强调并落实“数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性”。[2]

鉴于此，课程改革强调“以具体整体性的知识单元为载体、从认知的联系性出发进行设计并开展课堂教学”。[3]笔者应苏州大学数学科学院和教师教育学院邀请，于2019年12月为苏州大学2017级研究生和江苏省优秀数学骨干教师执教了“导数在研究函数的应用”，旨在探究单元教学设计的新思路，落实新课标所倡导的“数学育人”。

二、基于单元设计理念的教学设计

（一）学情分析

教学对象是本校高二15班共31名学生，该班是本校与中国科学技术大学少年学院联合创办的首届少年预备班，学生是从初二（或初一）直接选拔读高中的，年龄都是14-16岁。他们思维活跃，思维水平较高，反应较快，接受能力、自主探究能力和理解能力较强，善于发现新问题，但数学语言表述不到位，特别是逻辑推理方面欠缺。选择这节内容开设公开课，旨在引导学生利用已有的基本经验和直观想象，发现函数的单调性与导数的内在联系、揭示导数与函数极值、最值之间的一致性，引导学生学会用数学思维分析事件。

（二）教材分析

导数在研究函数中的应用十分重要，人教版高中数学选择性必修第二册第84-97页详细阐述了函数的单调性与导数关系、利用导数求函数的单调区间、极大（小）值、最大（小）值以及实际应用。概念较多，特别是极值与最值的概念学生容易混淆。对于思维水平较高的学生，在正常学习之上应有新的教学思路。

（三）设计理念及教学目标

1.设计理念

数学概念教学一般包括：概念的引入、内涵和外延的明确、概念的应用。教学过程不能只让学生被动接受、强加记忆、机械模仿和超量刷题，而是让学生自主探究，通过动手操作、主动参与、智力参与、主体体验、合作交流等方式，“再创造”自己的数学意义和数学经验活动，使数学学习成为发展智力、提高一般科学研究能力的有效途径。

基于单元设计理念的教学设计路线如图1所示。

2.教学目标

（1）知识目标：用导数刻画函数动态的单调递增和单调递减的概念，会用导数的方法研究函数的单调性、极值和最值。

（2）过程目标：体会数学符号语言描述数学对象的精确性、简约性，初步体验从运动中、从数形结合中发现导数的正负性与函数单调性的关系，体验发现数学性质的乐趣。

（3）素养目标：培养学生学会观察问题、提出问题和解决问题的能力，会用数学方法研究实际问题，创造性地解決问题，感悟数学的本质。

（四）教学过程

在新课程改革中，根据数学知识的“生长”规律，学生的认知现状和发展需求，整体把握教学要求，单元设计教学内容与教学方法。这样的教学，注重知识之间的联系，有利于知识的结构化、系统化，避免了知识碎片化、孤立化;有利于数学理解，养成“联系知识”的习惯;迁移知识和方法，促进知识的巩固;助力数学应用，促进数学学科素养的培育。

1.创设基本经验 关联数学的整体性

学生学习数学是从学习数学概念开始的，数学概念是学生认识数学、理解数学和应用数学的源泉，可见，数学概念教学十分重要，是学生建构数学认知体系，完善数学知识的框架，提升数学素养的起点。为此，在概念课的教学中，情境创设尤为重要，学生基本活动经验更加珍贵，以旧引新是情境创设常用的方式，根据本节课的教学内容，笔者设计了以下基本活动经验。

师：下列函数：（1）f（x）=2x+1，g（x）=2x+1;

（2）f（x）=x2-2x-1;（3）f（x）=;（4）f（x）=

x3+x;（5）f（x）=sinx（x （-π，π））。用什么方法研究下列各函数的单调性？

生（齐）：画图或者定义法。

师：利用数形结合思想或者定义法是解决问题基本方法，当然也会有其他方法。

[设计意图]利用常见函数图像、单调性与函数导数正负号进行比较，引导学生在已有的基本活动经验的基础上探索新的研究策略，培养学生发现问题的能力。

当听到学生小声议论“还会有什么新的方法呢”“导数法可以吗”时，笔者顺势引导学生思考下面的问题。

师：上述几个函数的单调性与其导数有什么关系？就这个方面你们能提出新的问题吗？

生（齐）：如果f '（x）>0，则f（x）单调递增;如果f '（x）<0，则f（x）单调递减。

师：不规范，指定区间I必须连续，如（3）中的反比例函数，虽有f '（x）<0，但不能说它是单调递减的;而（5）的正弦函数在指定区间上导函数正负交替出现。

[设计意图]对不同类型的典型实例进行属性分析、比较、综合，概括出它们的共同属性得到本质特征，为抽象导数与单调性的关系做好准备。

2.重构概念内涵 理顺逻辑的连贯性

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的。”[4]因此，在组织教学活动中，让学生认识到数学概念不是凭空产生的，也不是孤立的，它是在原有基础上不断发展而来的，具有一定的结构性和连贯性。数学概念也可以有其他的表达形式，如函数的单调性在必修一中已经学习，那么利用导数的几何意义和极限思想进一步研究函数的单调性，有助于学生理顺新旧表达方式逻辑的连贯性。鉴于此，笔者提出了以下问题。

师：怎样利用导数来刻画函数的单调性？

生1：利用函数单调性定义和导数定义进行研究。

师：很好！你们能建立“函数的单调性”与“导函数的正负性”之间关系吗？

生2：根据函数单调性定义，已知f（x）的定义域为D，对于给定区间I=（a，b），ID，x1，x2  I，x1

生10：从前面讨论第（2）（5）的函数中，我发现函数取到最大值或最小值时，导函数为0，于是，要求函数在定义域内的最大值或最小值时只要解出f '（x）=0的x值，将其代入f（x）表达式即可。

生11：不一定，对于f（x）=x3，f '（0）=0，但f（x）在R上单调递增，因此没有最值。

而f（x）=x+的导函数为f '（x）=1-，

有f '（±1）=0，代入求得函数值f （1）=2，f （-1）=

2，这与利用基本不等式求出的结果f（x）≥2或f（x）≤

2是一致的，即最大值为2，最小值为-2。

生12：这是对勾函数，f '（x）=1-，当f '（x）=

1->0，即x>1或x<-1，因此，单调递增区间为

（-∞，-1），（1，+∞），同理，单调递减区间为（-1，0），（0，1），结合图像可得，既无最大值，也无最小值，值域是（-∞，-2]∪[2，+∞）。

师：关于最值的分析是正确的。当x>0时，在x=1附近的函数值没有比2更小的，于是就把f（1）=2作为f（x）的极小值;同理f（-1）=-2作为f（x）的极大值。

极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，也就是说，如果x0是函数y=f（x）的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f（x0）更大（小）的值。

[设计意图]通过对已知函数图像的观察，培养学生发现问题、提出问题的能力，继而引出函数极值和极值点的概念。

师：如果f（x0）=0，那么f（x）在x=x0处一定有极值吗？又怎样判断极大（小）值？

[设计意图]鼓励学生自主选择问题巩固有关概念，引导学生学会从特殊实例中总结归纳一般情况，培养学生独立思考、合作交流的能力。

学生分组讨论、争辩交流，教师巡回观察指导，时而参与交流，学生智力参与，教师给予点评，并做关键的提示与强调。

一学生小组发问：函数f（x）=x2-2x-1在x=1处导数为0，极小值为2，以前将其叫作最小值，这两者有区别吗？

此时，笔者首先表扬该生敢于提出新问题的精神，其次给出函数最值的概念。

师：最大（小）值是指在整个给定区间内所有函数值都与f（x0）比较，没有比f（x0）再大（小）的了，这时f（x0）就是最大（小）值。因此对于二次函数在对称轴处既是极大（小）值，也是最大（小）值。

追问：你们能再找一个函数极值就是相应最值吗？

此时，课堂上又一次引起热烈讨论，大家纷纷举例，并加以验证或者否定。

师：这些都是在整个定义域内的极值與最值的关系，一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

[设计意图]通过学生自主探究，并提出问题，激发学生的联想、比较、分析、概括、抽象等高水平数学思维，而且还在方法论上给予“强抽象”的体验。

4.体验问题模型 体验数学的实用性

培养学生观察问题、发现问题、提出问题和解决问题能力，是新课程改革的重要目标之一，问题意识、质疑能力也是重要的学科素养。数学学习尤其要有较强的主动性和积极性，绝不能人云亦云，要有自己的独立思考。因此，在教学过程中，要鼓励学生大胆质疑、提出问题，培养学生的理性精神和创新精神。学生习惯于解决给定的问题，对于开放性问题往往束手无策，这样不利于培养学生的创造性思维。教学时，训练学生的逆向思维，引导研究问题的模型，这样让学生体验数学的实用性，因此，笔者设计了如下问题。

师：求函数f（x）=x2（3-x）的单调区间，并指出单调性。

学生自主求解交流，教师察看点拨。

追问1：你们能提出新的问题吗？

生（齐）：根据极值的定义，得极大值f（2）=4;得极小值 f（0）=0。

生13：还可以求函数在区间[1，4]上的最大值4，最小值16。

师：很好！你们已经掌握了求函数单调区间、极值和最值的方法。

追问2：你们能根据这个函数式构造一个具体的实例（数学模型）吗？可以分组讨论。

生14：当0

（1）我们是按照怎样的路径探究导数在研究函数中的应用的？

（2）获得导数概念的过程与获得用导数刻画函数单调性的过程有怎样的异同？

（3）利用导数研究函数的极值与利用导数求函数的最值有怎样的异同？

（4）你利用导数还能探究函数哪些性质？

[设计意图]从结构化、联系性等视角归纳总结本课的学习内容，进一步认识导数在研究函数中的内容、过程和方法，突出导数与函数之间的内在关联，渗透逆向思维的观点，强调利用导数解决生活中的实际问题，体现更高的函数应用的观点和更本质的数学思维模式。

三、教学启示

数学学习是有意义的建构学习，是在质疑、探究、交流、合作中完成的。因此，数学教师的任务，就是组织具有一定思维含量的数学素材，引发学生的深度思考，展现思维过程，指导交流、合作和思维碰撞，产生思维火花，完成数学知识的意义建构。所以，在数学课堂教学中，教师应该有意识地让学生表达自己的想法，让学生的嘴动起来，话多起来，学会合作探究，学会经验积累，学会交流分享。由此可见，教师对新课标、新教材、新高考的深刻把握和精准设计尤为重要，研究新教法，综合利用单元教学进行尝试，让课堂教学更加精彩。

1.把学生带回经验中

数学概念是概括的、抽象的，无论是概念的形成还是概念的同化，都需要以学生的基本活动经验为生长点，以学生头脑中已有的具体内容、直观想象的图形为依托，“借助经验事实使概念易于理解”[5]。在新课标背景下的新教材中，许多概念，尤其是基本概念与现实生活息息相关，因此在课堂教学中应该通过情境创设，如实际问题导入、以旧引新等，唤起学生学习的热情，使学生身处现实情境，亲身体验，在感性认识的基础上，借助观察、分析、归纳、抽象等思维活动，如给出五个基本初等函数，让学生指出单调区间、画图、求出导数，引导学生观察函数图像，感性认识导数值对单调性的影响。又如通过复习函数单调性概念，打通单调性与导数的关系，慢慢走向精确概念。也就是“对常识内容进行精细化”[6]，在概念化的过程中学习新的概念，解决一系列问题（习题）。

2.把学生带入探究中

数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”概念教学的一个重要的方面就是用问题将学生带入探究之中，让学生在发现问题、提出问题、解决问题的过程中智力参与、主动建构，理解数学知识的本质，体会科学研究的一般方法。如导数与单调性关系，学生发现“单调递增函数的导数大于零，单调递减的导数小于零”，学生尝试从两个方面去探究，一是依据单调性定义和导数定义，二是通过割线斜率演变到切线斜率，使得问题更加直观化。新授课的概念教学中的问题化包括两个方面：一是概念建构过程的问题化，将知识的发生发展过程转化为一系列带有探究性问题，如进而学生又提出“导数大于零的函数一定单调递增”，从而引起学生小组之间大讨论，进而得出正确结论;二是形式材料的问题化，把形式的、抽象的数学知识转化为蕴含本质、贴近实际的适合学生探究的问题，如学生通过二次函数和正弦函数的最值问题，大胆提出利用导数研究函数的最值，因势利导地探究出“极值与最值的概念”，揭示极值是局部问题，而最值是整体性问题。

3.把学生带入思辨中

数学学习中的思辨既是一种思维活动，也是一种实践操作行为。思辨的对象可以是数学知识、数学素材、数学思想方法，也可以是数学学习过程中的成功与失败，可以是群体思辨，也可以是自行思辨。如学生讨论“导数为零的点是否为极值点”，又如让学生举例说明等等。教师引导学生思辨，不仅是思辨学习的结果，还有思辨学习的过程、学习的方法、学习的习惯，如求三次函数的单调区间，紧接着追问求函数的极值，然后又设计一个逆向应用和开放性问题，即由函数式来建构现实生活中的数学模型，于是学生在积极的合作、交流、讨论、思辨情境下，得出两种实际情境。这就是让学生在思辨中回顾知识发生的过程，强化对数学知识的理解，领悟其中的思想方法，獲得科学研究的一般认识，发展质疑、批判的理性精神。既凸显新课标理念——立德树人，又体现新教材的编写意图——以生为本，同时也落实新高考的评价精神——人文思维、创新思维和创造思维。

[参考文献]

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020：12.

[2][3]章建跃.核心素养立意的高中数学课程教材教法研究[M].上海：华东师范大学出版社，2021.

[4][5]涂荣豹，宁连华，等.中学数学教学案例研究[M].北京：北京师范大学出版社，2017.

[6]涂荣豹.数学教学认识论[M].南京：南京师范大学出版社，2003.