栾功 郭慧清

[摘 要]文章探讨2021年高考全国甲卷理科数学解析几何压轴题的解法、变式，剖析试题内在结构特征，揭示问题本质，为学生的学习和教师的教学提供参考。

[关键词]2021年高考;全国甲卷;圆锥曲线;压轴题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0001-04

一、试题呈现

（2021年高考全国甲卷理科数学第20题）抛物线[C]的顶点为坐标原点[O]，焦点在[x]轴上，直线[l]：[x=1]交[C]于[P ， Q]两点，且[OP⊥OQ]，已知点[M（2 ， 0）]，且⊙[M]与[l]相切。

（1）求[C]，⊙[M]的方程;

（2）设[A1 ， A2 ， A3]是[C]上的三个点，直线[A1A2]，[A1A3]均与⊙[M]相切，判断直线[A2A3]与⊙[M]的位置关系，并说明理由。

二、试题分析

试题以教育部考试中心统一命制的2021年高三八省联考数学试卷第7题为题源，以彭赛列闭合定理为背景，设计过抛物线[y2=x]上三点[A1 ， A2 ， A3]的三条直线，给出其中两条直线与⊙[M]相切的关系，要求考生探究第三条直线与⊙[M]的位置关系。试题一方面所给三点[A1 ， A2 ， A3]以及三条直线[A1A2]，[A1A3]，[A2A3]具有相同的结构，便于考生利用数形结合探究问题的解法，给不同考生提供了发挥空间;另一方面给考生创设了利用坐标法解决解析几何问题的情境，考查考生的数学思维能力、应用解析几何思想与方法解决问题的能力，以及数学运算、逻辑推理等核心素养，值得深入探究。

三、解法探究

第（1）问以直线、抛物线和圆为载体，考查考生对解析几何基础知识和基本方法的掌握程度，答案为抛物线[C]：[y2=x]，[⊙M]：[x-22+y2=1];第（2）问的难点是表示第三条直线[A2A3]的方程以及消参求解圆心到其距离。我们可以先从特殊情形入手，当点[A1 ， A2 ， A3]恰有一个在原点时，如图1，直线[A1A2]，[A1A3]，[A2A3]位置确定，容易求得直线[A2A3]与⊙[M]相切。……