梁峰

摘要：什么是代数思维？ 虽然它可能包括变量和表达式，但代数思维的内涵比代数一词更广泛， 也更不同。学生最初接触乃至认识数学始于算术思维，随后由字母的引入逐步感受代数思维， 初步感知符号意识。

关键词： 代数思维;图式;符号表征

Kieran（1996）将代数思维定义为 “使用各种表征中的任何一种，以关系的方式处理数量 问题” 。Swafford 和 Langrall（2000）对代数思维的定义与算术推理不同，算术推理涉及对已知 量的操作，而他们认为是“对未知量进行操作的能力，就像该量是已知的一样”。Driscoll（1999） 说代数思维可以被认为是“表示数量情况的工具，以便将变量之间的关系变得明显”。

进入初中，随着“代数式”的学习，代数思维得以继续强化，符号意识得以继续渗透， 并为后续学习奠定基础。也正是代数思维的建立，为问题分析以及问题解决拓宽了思路。

（一）、特殊与一般的同化阶段

梅森（1996）提出，对学生来说，重要的是要有“通過特殊性看到一般性和在一般性中看 到特殊性”的经验。要发展一个模式，学生必须首先解决问题。通过寻找模式和解决特殊的 案例，学生能从特殊的案例中概括出一般的模式。然后，当学生有了经验后，他们就会通过 调用他们已有的固定模式来进行概括。当学生利用一般案例寻求纳入具体案例时，他们就会 触发他们的经验图式来同化或容纳新的问题，以此解决方案。

Balacheff（1988）在对 13 和 14 岁的学生使用一个概括问题的研究过程中，他发现，这些 学生使用四个阶段或层次类型的证明来解决这个问题的一般情况。第一个阶段是通过只看几 个案例来做出关于一般性的猜想。这个阶段之后是学生根据特定的例子来检验他们的概括性。 在第三阶段，学生表现出需要考虑所有可能的情况的意识。在第四阶段，学生做出了明确的 概括。在具体的研究结果中，Balacheff 和 Mason 等人发现，大多数学生只使用了前两个阶段 的概括和证明。

（二）、情境化模式下的图式构建

Confrey（1997）提出，帮助学生研究数学结构中的相关问题和发展代数思维的一种方法是 基于情境的方法。通过使用情境法，教师可以帮助学生整理各种情况的共性，看到代数思维 的重要方面，即一个量的变化与另一个量的变化之间的关系，并进行概括。

通常情况下，学生能够很容易地认识到新的问题情境，并吸收他们现有的模式来解决这 些问题。然而，很多时候，他们需要迁就自己现有的模式，否则就演变为纯粹的记忆。记忆 可以通过死记硬背的方式进行，而学生却在死记硬背的过程中，很少或根本不理解被记忆的 片段意味着什么。一个人可能会记住孤立的知识片段，这些片段与任何其他知识都没有联系。 于是图式的构建就为新问题情境的吸收奠定了基础。

图式的形成和发展意味着个体必须理解概念以识别和构建模式。Marshall（1995）强调，个 人记忆模式的方式与记忆公式或定义的方式不同。Sfard（1991）将记忆描述为非结构化的、有 顺序的认知模式，不足以建立有意义的理解。非结构化、顺序化的图式“很难成为同化新知 识的场所” 。这种类型的模式是横向的、浅层的、宽泛的，有一些没有联系的信息碎片。相 反，个体要想使用模式，就必须将新经验与先前的知识建立联系。

（三）、突破原型思维的框架

代数思维在高中数学教学过程中往往会渗透一些原型思维。原型思维的另一个严重问题 是其严谨程度不足以进行数学推导。正如 Poincare（1996）指出： “许多学习者除非在他们周围 找到这样那样的对应这一性质的数学对象，否则他们就不会理解此知识概念。”在每一个概念

下，他们要将其放入一个合理的形象，在理解该数学概念时才会唤起这个形象。并在后续的 每一个阶段的演示中，他们只有在看到这个形象的转化和发展下，才会理解和保留他们所理 解的东西。例如在画线方面，大部分学生画的是正斜率的线，极小部分学生画的是负斜率的 线，正是由于明显的原型是正斜率、过原点的直线，经过以为原点; 在画圆方面，受以原点 为中心的圆的影响，绝大部分的学生也确实画了一个以原点为中心的圆。

经过上述的文献研究及教学一线现状看来，许多学生在代数方面存在严重的认知问题， 尤其是在看到代数公式的结构和理解其抽象符号方面。代数教学往往通过在类似任务中练习 代数计算来关注基本技能（Arcavi et al.，2017） 。然而，许多学生在何时使用这些基本技能和寻 找解决代数问题的策略方面遇到了问题，而出现问题的关键就在于他们缺乏符号感。对代数 公式的洞察力是符号感的一个方面，包括识别公式的结构和关键特征，以及对公式的定性推 理和关于公式的推理。例如在学习函数的过程中，将公式和图形等表征联系起来是非常重要 的，并且可以用来赋予代数公式以意义。在解决问题的过程中，甚至可以通过图形将公式可 视化，便于学生理解问题情境、记录信息及评价结果等。

袁婕妤（2021） 指出，在培养学生代数思维的过程中，教师要有意识的引导学生对旧知 识进行迁移和应用，从批判的角度展开学习探究，这对于提高学生的深度学习效果，促进教 学质量的提升具有重要作用。在迁移旧知识的过程中，学生能够更为清晰的了解到代数的特 点，并将其与新知识的学习结合到一起，不断提高代数理解能力，学会对代数进行有效推导。 除此之外，教师还应该鼓励学生结合先前所学代数知识建构代数框架，从而对整个阶段的代 数有一个更为全面的了解，并有效提升代数思维。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. （2003） 普通高中数学课程标准（实验）.人民教育出版社.

[2] 中华人民共和国教育部. （2017） 普通高中数学课程标准（2017 版）.人民教育出版社.

[3] 鲍建生， & 周超. （2009）. 数学学习的心理基础与过程. 上海教育出版社.

[4] 袁婕妤.（2021）.初中数学教学中学生代数思维的培养策略. 数理化解题研究（35），42-43.