罗鸣亮

【编者按】对学生来说，数学知识纷繁而枯燥，靠着对概念定理不求甚解的记忆，无法实现真实学习。数学是一门有“道理”的学科，教师如何在教学中构建适宜学生以数学的思维方式进行思考、乐于表达交流的空间，通过问题引导等方式，使其能明晰知识脉络，看清知识本质，表达思考过程，感悟数学道理？本期话题围绕“强化数学思维，感悟数学道理”展开探讨。

知识的学习固然重要，但值得思考的是在知识学习的深处还能生长出什么？杜威提出：“学习就是要学会思维。”从某种角度来说，让数学学习真正发生，就是要让思维真正发生。我们知道，数学是讲道理的。数学知识本身蕴含着严谨的道理，所承载的数学思维是灵活、批判而又深刻的。基于学生的认知规律和心理特征，在数学教学中，教师更应从学习设计者的角度思考学生的学习。以知识为载体，以问题为引领，以思辨为途径，以发展为目标，启发学生基于已有的经验，积极地思维、主动地建构。在开放思考、协同探究、深度建构中，追寻知识的本质道理，经历知识的再发现、再创造，进而从朴素的经验上升到科学的、有逻辑的思维高度。在获得知识的同时，赋予思维的丰厚与深刻。

一、真问题——从“封闭”走向“开放”

学生的“学”，总离不开教师的“教”。但如果只是在“教”，学习就容易处在“记忆、理解”的低阶思维训练中。因此，站在学生的立场思考“学”，更要从“教什么”转向“学什么”，从“怎么教”转向“怎么学”，从“学”的角度设计学生的学习。“少即是多”，好的学习，要贴近学生的已有经验，以“探究未知”为出发点，设计核心的学习任务。以问题为引领，在有挑战的情境中点燃学生的好奇心和探究欲，进而主动质疑与分析，使学习真正从“学”的角度启发学生的思维从封闭走向开放，从被动走向能动。

出示：459×7。

师：做好的小朋友请举手。同桌之间互相检查一下，如果100分你就给他点个赞。

师：淘气也读三年级，他是这样

做的（出示右图）。

师：你们想问？

生：淘气这样做对吗？

师：淘气这样做对吗？对不对？（学生独立思考）

师：到底对不对呢？可以在淘气的做法旁边写下你的想法。

师：把你们的想法在4人小组里面交流。

小组讨论后，学生汇报。

生1：我觉得是对的，因为七九六十三，他写了63，五七三十五，写在百位，他写在下面一行，四七二十八，28是千位，所以我觉得这是对的。

生2：我也觉得是对的，因为七九六十三他没进位，但是他照样把6写在了十位，五七三十五，写到了下面，3是百位，5是十位，所以是350，四七二十八，8写在（3的）上面，我觉得这样算法是对的，但是有点乱。

师：听懂他说的吗？有不同意见吗？

生3：他是把这三个分开算，我们的方法是合起来算。他先算9乘7、4乘7，再算5乘7，我觉得一点都不乱。

生4：我觉得不对，因为他乘的是一位数，不是两位数，两位数才要分开算。

生5：我赞同对，因为淘气算式算对了。我又赞同不对，因为要从个位算起。

生6：我觉得对，因为五七三十五，只是他写到了下面一行写成350。

生7（站到生4旁边）：我支持不对，淘气可能认为这种算法比较简洁，如果按顺序乘的话，不把35写在下面;他用2863加上350，可能步骤会少一点。

生8：我觉得是对的，因为他是先算409×7，但十位（5）还是有算的，不会忽略掉。

思考：从学生的思维特质出发，笔者在学生独立计算459×7之后，抛出淘气的算法，当固有的常规竖式计算和新颖的算法隔空相碰时，冲突、质疑、审视、批判等心理活动冲击着每一个学生原有封闭的对竖式算法的认知，进而产生真问题——“淘气这样做对吗？”

如此，课堂以学生产生的真问题为核心，以开放的姿态，触碰到学生的“好奇心”和“思维”的燃点。在两种算法的对比分析中，课堂像是进入交锋的状态，但其实质，是站在学生“学”的角度，巧妙地以两种算法为载体，启发学生的思维主动从算法之间的较量聚焦到算理的溯源。使得学生不由自主地带上数学应有的理性视角，在有挑战性的问题里，基于自我的经验与独立思考，亮出自己的观点，展开对未知的分析和求索。在这样的过程中，学生已跳脱出固有封闭的认知，以开放的思维方式叩问竖式中的本質道理，不仅成为更好的提问者，还发展质疑问难的批判思维。

二、真思辨——从“个体”走向“协同”

学习的过程就是在“自我”与“知识”、与“他人”、与“世界”交互的张力中不断重构的过程。在这样的过程中，学生往往围绕挑战性问题，基于独立地对已有经验的改造与重组，以语言为媒介，在交流互助的关系中，从“个体”的思考走向“协同”的探究，不断地经历冲突、推敲、叩问、理解、修正、重构等一系列思维活动。这样“协同探究”的课堂不再只是促进记忆与理解的场所，更是发展学生分析与综合、评价与创造等思维的场所，是促进学生不断提升自己、不断重建认知的场所。

1. 批判，鼓励学生科学的质疑精神。

生7：可是淘气7×5写在上面也是可以的，他为什么要写在下面？

生8：其实算法都一样，只是写在上面和下面的区别，答案是一样的。

生7：那为什么2863+350还是没有进位？

生8：因为他是直接先算409乘7等于2863，但是如果忽略掉了十位上的50，那这个答案也会是错的，所以必须得加上。结果已经有进位了，只是没写出来。只要能确保是对的，他就能这么写。

生7：我说不出来了。

师面向生7：说不出来是吧？说不出来谁帮助我们一下。

生4：为什么要加50×7呢？

生8：因为如果把50省略掉，那答案不是错误了吗？所以50必须得乘7，它才能是正确的答案。

生5：为什么要（跳过十位）先算百位？

生8：应该是409×7，只要把5往下挪，然后看成409就可以了。

师：谁来帮助我们三个？

生9：为什么350要写在下面，为什么不是在上面？你得先说清楚。

生8：这个问题我已经说清楚了，只要能确保是对的，就可以写在下面，如果你没有办法确保是对的，写在上面也可以。

生4：但是350写在下面，你说这个是对的，你得有理由。

师：很好，等一下。表扬，懂得问，你要给我理由呀。

生8：因为它是409×7=2863，但是50没有算，所以我们现在必须得算出来，不然答案是错误的，这就相当于忽略了一步。

生7：从个位乘到百位，不是比这样子计算更清楚一些吗？

生8：只要能确保是对的就可以了，如果你没有能力确保它是对的，那你可以按老师的教法，但淘气这样算是对的。

生5：350的0可不可以省略掉？

生4：淘气写竖式是要让别人看得更清楚计算过程，但是这道算式过程都不清晰。

生8：这个过程对我来说也挺清晰的，因为409×7等于多少，再加上50×7等于多少，我们都可以清晰地看出来。

2. 沉潜，触发学生积极的探索精神。

生12：大家可以换位思考一下，别一直只想自己的。

生8：你们用不同的话来说，其实问题的本质是一样的。

生4：我们不问明白的话，你们怎么能证明淘气是对的？

生10：我有个办法证明，换个算式来算，同样用淘气这个方法。549×8，首先算个位的，八九七十二，然后再跳过去算百位，五八四十，接着是四八三十二。然后用我们以前学的方法再算一遍，答案也一样，就说明淘气的做法是正确的。（别说边板书）

生11：为什么可以跳着算呢？

生10：为了给个位的答案弄出个空位。

生11：为什么不能先算十位再算百位呢？

生10：其实也可以。

生8：只要你有能力把它算对的话，就可以了。

生11：如果按你们的说法，先算十位不可以吗？为什么你和淘气都是先算百位呢？

生5：老师说过了，算式中要从个位算起。

3.明晰，推动学生理性的思辨精神。

师：淘气这个（2863）表示什么意思？这个（350）又表示什么意思？

生13：我看得懂。（而后沉默）

生14：我看得懂，我能上去讲一下吗？

师：你要让他（生13）听懂，要不要把他带上去？

生14带着生13上台：9个一乘7等于63个一，4个百乘7等于2800，然后它们两个又合在了一起，表示409乘7。

师：对不对？掌声送给她。那么这一个（350）呢？刚才带谁上来了？

生13：350是5个十乘7。（同时板书）

生15：我也是这样想的，但是我觉得这样做不对。比如111乘1至9，这样的方法太难了，不好算出来。

师：我发现我们班的同学会假设、会举例，这个同学也一样，他又举了一个什么例子？

生16：数位上的数字很小的数乘一个很小的数，比如111乘1至9。

师板书：111×9。

师：也就是说，需不需要用淘气的办法？

生17：不用。

师：我们先来说他的方法对不对？

生18：对，只不过用在其他算式太麻烦了，比如像111×9，可以直接口算。

师：没必要用淘气的方法对不对呀？

思考：教学围绕两个对立观点，借助“谁来帮助我们三个”“表扬，懂得问”等语言的穿针引线，游走在学生的思维困顿处、观点交锋处、说理障碍处，启发学生一次次地以淘气的算法为思维发展的途径和载体，观点愈加鲜明的同时，将“踢十法”置于“乘法运算”这一知识体系中，不由自主地从算法的分析迈向算理的沟通。在“这样算不清晰、麻烦”的常规派和“只要能算对就可以”的灵活派的激烈思辨中，更诞生了“换位思考”的兼容思想，“问题的本质是一样的”的理性洞察，“549×8”的举例验证及“虽然对，但如111×1～111×9等题目，用了很麻烦”的再联想、再跳跃、再创造。

一次次的思维拐点，一次次的多元交互，一次次的深入探究，算法的灵活合理、算理的迁移沟通已无声潜藏进学生的思维里。如此，从个人的思考到协同的思辨，随着思维的逐步深入，不仅有意义地建构起知识的认知过程，更帮助学生从个人的观点里跳脱出来，从事实性的知识通往自发的创造性的经历，拓宽原有认知的疆界。在深入本质的理解中，学生学会用数学的思维来理解和解释，逐步养成讲道理、有条理的思维品质。

三、真发展——从“表层”走向“深度”

知识是什么并不是最重要的，重要的是以知识为载体的教学根本目标是学生的发展。因此，教学更要从知识的获取，走向思维的发展，最终帮助学生的学习跨越表象，由表及里，由薄到厚，走向深度认识与智慧思考，建构起学习的意义。

生：那么多种方法，为什么他只选这一种复杂的方法？

师：对呀，淘气为什么要这样算呢？他的方法有没有好的地方？

师：四人小组讨论一下，淘气的方法有没有好的地方？

生：不好，因为老师说要用别人看得懂的方法，如果这个方法让别人看不懂怎么辦，所以我觉得不好。

生：我觉得好，像459×7，比较难的算式，可以不用验算也能表达它的正确答案。

生：这个方法可以直接口算，比如可以列成9×7，400×7，50×7，再把它们加起来。

生：我觉得好，它减少了错误率，首先你看个位，9×7=63，进位，5×7=35，又进位，两次进位，很容易就会算错。而淘气这样，把顺序改一下，进位改加法里面了。

生：他的意思是说他只是先把（十位上的）5看成0，把其他的先算了，最后再加起来，这都是我们学过的，不容易算错。

生：这样错误率低，这个方法脑袋里想想就可以。

师：真好，其实没有最好的办法，就像淘气认为他的方法很好，可是有的小朋友举了111×9的例子，对不对呀？所以，今天你们能够从认为这是不对的，慢慢通过思考，通过交流，有的还通过举例子、假设，甚至验算，发现淘气的方法是对的，从而明白他为什么这样算。其实，没有最好的方法，只有适合自己的。你看，有人说过这样的一句话，我们来读一读。

生：算法只是知识，选择才是智慧。

思考：“淘气为什么要这样算呢？他的方法有没有好的地方？”问题的提出，给学生的思维再次带来沉潜的契机。触发学生再次从自己的思考走向有理的辩论，从自我经验的分享走向他人想法的融入，从合理的运算走向灵活的建构。其间，一次次跨越算法的表层，深入到批判思维的深处，既有算理的明晰，又有多样的思考，还有对错误率低的洞悉，更有“算法只是知识，选择才是智慧”的领悟;促使学生的思维得以高度沉浸与持续深化，从知识的本质之理来到学习的智慧之理，进一步把新形成的经验沉淀下来，迭代个人的思维方式和认知体系。学生不仅建构起知识，更丰厚自我，探寻到知识学习深处的意义，发展出独有的学习智慧。

（作者单位：福建省普通教育教学研究室）