北京教育学院石景山分院 闫云梅

北京市石景山外语实验小学 赵 燕

一、问题的提出

“数感”具有一定的内隐性，致使很多人对数感的评价望而却步。基于此，笔者与课题组成员一起，依据表现性评价理论，开发设计了低年级学生“数感”发展水平测评工具。通过设计表现性任务，将看不见的“数感”转化为具体可见的行为表现，并采用水平评价的方式，根据学生的作答情况（表现）先进行水平判定，再赋予相应的分值，以期对低年级学生“数感”发展的优势和不足有清晰的认识，为探讨培养学生数感的教学策略提供客观的依据。

二、用行为诠释内涵

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。综合课程标准（实验稿）中数感的主要表现以及不同学者的观点，对数感测评内容维度框架设计如下：

一级指标 二级指标数及数与数之间的关系 ★多种方法表示（表征）数★辨认或表示数与数之间的关系数量及数量之间的关系★估计数量的多少★ 估测物体的大小（包括长度、面积、质量等）★辨认或表示数量之间的关系问题解决★用数表达和交流信息★为解决问题选择适当的算法★ 估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释

这样设计的意义及具体计分情况见《小学教学研究》（教学版）2021年第9期《小学生数感发展水平测评工具的设计与分析》一文。利用测评工具，对某区域8个教育学区的9所小学共300名三年级学生（原二年级学生，因特殊原因测试推迟至2020年11月，学生升入三年级）进行了正式测试。

三、低年级学生数感发展整体情况

（一）不同学校低年级学生数感发展已有显著差异

在参加测试的9所学校中，各个学校学生总分的均值呈显著差异（见图1）。

图1

由此，我们可以得出以下几个结论：

（1）通过水平测试的方式，可以清楚地反映学生数感发展水平的现状；

（2）尽管数感有先天的成分，但和学校教育有密切的关系，数感是可以通过后天培养来提高的；

（3）低年级是促进学生数感发展的关键期；

（4）通过与这些学校学生数学学习成绩关联发现，数感水平的高低与学生数学学习成绩有密切关系，数感水平高的学生数学成绩更好。

（二）学生具有一定的数感，但在高水平发展方面尚显不足

学生在各个水平题目得分的均值如下：

?

从上表可以看出：对于水平一的题目，学生得分的均值约为0.83（满分为1），水平二题目得分的均值约为1.40（满分为2），水平三题目得分的均值约为1.63（满分为3）。可见，随着题目难度的增加，学生的得分率呈下降趋势，且从水平二到水平三下降得更为明显。整体看来，该区域低年级学生具有一定的数感，但整体发展尚处于中等水平，在数感的高水平发展方面还有很大的成长空间。这反映出教师日常的教学对于学生数感的培养具有一定的促进作用，但在数感的高水平发展方面，还需要有意识、有系统、有策略地培养。

（三）学生对“数量及数量关系”的认识比较片面

通过统计学生不同维度试题满分率的平均值，整理后发现，学生在“数及数与数之间的关系”各题满分率的平均值是61.48%，在“数量及数量之间的关系”各题满分率的平均值是53.01%，在“问题解决”各题满分率的平均值是37.38%。

“问题解决”的满分率最低，显然这是意料之中的。一是由于这部分内容都是水平二和水平三的试题，有一定难度；二是由于采用水平评价的方式，不但要评价学生作答的结果，还要评价作答的过程，学生在实践中对数字之间关联的意识以及灵活地解决数字问题的能力还有待提高。

比较发现，学生在“数量及数量之间的关系”满分率低于“数及数与数之间的关系”的满分率，这与测试之前的预期不符。反思我国传统的数学教学，教师更加注重抽象的“数”的意义的教学，过早进行“数”概念的抽象及数的运算教学，对“数量”的现实意义以及“数量关系”的认识还比较片面，不能从多角度发现数量之间的关系；另外，教师往往忽视了“情境”对数学学习的影响，大多将现实情境进行“加工”简化之后呈现给学生，当他们回到真实的情境中时，往往不能排除无关因素的干扰，发现数量之间的关系。这些问题都严重影响了学生数感的发展。

四、低年级学生数感发展具体表现及分析

将学生在每个二级指标各题满分率的平均值表示出来（见图2），我们可以更清楚地看出学生在数感的哪些方面表现良好，哪些方面有待提高。

图2

结合图2及对背后数据的分析，我们可以得出以下结论：

1.学生用多模型表示数方面表现突出，但用不同模式表示数的能力有待提高

多种方法表示数既是理解数的意义的行为表现，又是形成数感的基本特征。

结果显示，学生能借助多种直观模型表示数，对十进制、计数单位、位值等概念有比较清楚的认识，能用“几个千、几个百、几个十和几个一”说明数的组成。

在用多种不同模式表示数的测试中，如让学生用不同方式表示“50”，半数以上的学生处于水平一的阶段，也就是只能从一个角度来表示50（见图3）。

图3

尽管学生写出的答案很多，但想法比较单一，只能根据给出的示例进行单纯模仿，不能从多个数连加、减法或乘法、除法的角度进行思考，这是因为学生平时很少进行这方面的训练。同时也反映出学生对数的多种组成模式和数的结构特征缺少认识，对“50”这个数没有特别的感觉。今后在学习数的整除知识、计算和解决实际问题时，都难以应用数的多模式表征进行数的特征判断、简算和根据数的特征灵活解决问题。事实表明，数的多模式表征方式越多越灵活，在解决问题时，学生才能根据数的特点灵活选择某种形式解决问题。

2.学生喜欢从“差”的角度描述数与数之间的关系，对数自身的结构特征缺少认识

调研结果显示，学生在辨认数与数之间关系方面表现突出，主要是因为他们对数与数之间大小关系有清晰的感觉，能借助找标准、推理等方法，较为准确地表述数与数之间的相差关系。但学生对数自身特征的认识还比较欠缺，以找规律一题为例（如图4），数据表明，60%的学生能找到规律并正确填出括号里的数，但有一半多学生是通过寻找相邻两个数的差去发现规律的，没有意识到这些数自身的特点——都是两个相同数的乘积（平方数），这也致使部分学生没有正确填出后面的数，这一点恰恰印证了前面所述“数的多模式表征”的重要作用。

图4

3.学生对长度的估测好于对质量的估测，估计的意识与能力还需进一步提高

由于长度是可视的，学生对一些常见物品的长度有一定的了解，在掌握长度单位和估测方法的基础上，能合理估测出物品的长度。而对物体质量的估测，仅有质量单位和估测方法是不够的，还需要更多经验的积累。因此，让学生多关注生活中物品的质量，多掂一掂、估一估，在实践中才能不断提高估测能力。

在估计数量时，对于一些整齐排列的物品，大多数学生还是习惯用准确计算的方式获得结果，缺乏估计的意识。对于大数量的估计，学生的估计方法比较单一。如让学生估计一堆棋子大约有多少颗时，学生的估计方法有以下三种情况（见图5、图6、图7）。

图5

图6

图7

从图中可以看出，图4的学生用给出的标准，一个一个进行圈画，当数量较多时，标准逐渐发生变化，致使估的结果误差较大；图5的学生则抓住整体形状的特点，利用乘法得出标准的个数，再估计结果；图6的学生采用了根据给出的标准，找到一个更大的标准，利用较大的标准减少估的次数，从而更快估出结果。调研结果表明，90%的学生都采用了图4的方法。因此要加强估计方法的交流，减少估计的误差，提高估计能力。

4.学生对数量间相差关系感知准确，对数量之间多种关系不敏感

数量关系部分主要测试低年级学生能否根据具体情境来判断数量之间相差多少的程度，发现并描述两个（三个）数量间的关系。调研结果表明，学生能清楚地比较两个数量的多少，并能用多一些、少得多等语言描述数量间相差的程度，对数量间相差多少的感觉还是比较准确的。但学生对于数量关系的认识比较单一，对于和的关系、用倍数或几倍多几等不同方式描述数量关系的意识还很欠缺。史宁中教授指出：数学的本质是在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。小学生对数量关系的理解能力、对数量之间多种关系的敏感程度还有待提高。

5.学生具有用数表达与交流信息的意识，但交流的水平有待提高

生活中数学信息随处可见，能主动用数表达和交流信息是一个人具有数感的重要表现。调研中发现，学生能从情境图中发现数学信息，具有用数表达与交流信息的意识。但交流的内容往往停留在直接读取到的数据层面，没有关注到数量之间的关系，更不能超越数据，发现数据背后的信息。

6.学生习惯于按程序计算，不能根据情境和数据特征选择合适的方法

从图2可以看出，学生在“为解决问题选择适当的算法”方面各题满分率的均值最低，学生不是不会解决问题，而是不能根据问题情境和数的特点，采用合适的方法解决问题，把计算当作解决问题的唯一办法，忽视了估算、简算、推理等方法的合理运用。以“198＋35”为例，题目要求学生用自己喜欢的方法求出答案。从统计数据看，大约85%的学生都是列竖式计算，只有13.7%的学生能发现数的特点，将题目转化为“200＋33”或“200＋35－2”等，用简便的方法解决问题。由此可见，学生往往是在有明确简算要求的情况下才简算，缺少主动选择合适算法的意识。只有当学生根据情境和数的特点，自觉采用灵活的方法解决问题时，才是良好数感的行为特征。

7.学生对运算结果的估计较好，但还缺少自觉估算的意识

对于有明确估算要求的题目，学生对算式结果的估计都比较准确，估计的方法也很多，能把参与运算的数看作相应的整十数，从而判断结果大约是多少，数感好的同学也能通过确定某些数的上界和下界，判断运算结果大致在什么范围等。但在没有估算要求，却可以用估算解决的实际题目中，72.7%的学生还是习惯用准确计算的方法，没有估算的意识；14.3%的学生有估算的意识，但不能根据情境和数据特点选择简捷的估算方法。这说明学生的估算意识亟待加强，估算的策略与方法还需进一步培养。

总之，运用表现性评价，将学生在数感不同维度的表现外显出来，可以清楚地了解学生在不同方面的优势与不足，为探讨培养学生数感的教学策略提供客观依据。