王永春

【摘 要】本文对数学模型思想的本质、路程模型、教学策略进行了分析和概括，结合案例进行解读。与模型思想相关的数学概念、数量关系、数学模型、数学思想方法、数学认知结构、数学核心素养等层层递进，构成了模型思想的数学本质。构建实现深度教学和深度学习的教学策略，重点体现对数学本质的理解、基于学生的认知起点、整体自主建构、掌握重要思想方法、培养核心素养，使学生学会学习、学会思考，形成可持续发展的自学能力。

【关键词】数学模型 分析法与综合法 核心素养

一、对模型思想的认识

如果说抽象形成了数学概念和关系，推理形成了数学命题和结论，那么数学建模就是形成了数学模型，体现了数学的广泛应用性。

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构，即运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验，如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。

符号化思想更注重数学抽象和符号表达，模型思想则更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是解决现实中的各种问题。当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象和推理的过程。

2011年的数学课标在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果，并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。并在教材编写建议中提出“教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现‘问题情境─建立模型─求解验证’的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”。

这就可以理解为：在小学阶段，从课程标准的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明确了模型思想的重要意义。这不仅表明了数学的应用价值，同时明确了建立模型是数学应用和解决问题的核心。

数学新课标将把模型思想改为模型意识，把小学和初中阶段的模型思想要求进行水平区分。把模型意识的内涵描述为：主要是指对数学模型普适性的初步感悟。认为模型意识有利于增强应用意识，认识到数学应用的广泛性。同时强调让学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义。让学生感受字母表达的一般性，以及通过字母的运算或推理得到结论的一般性，形成与发展符号意识和推理意识，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和应用意识。

二、模型思想的教学

经过抽象后用符号和图形表达数量关系和空间形式，是模型思想与符号化思想的共同之处，但是模型思想更重视如何创设真情境、经过分析抽象建立模型，更重视如何应用数学解决生活和科学研究中的各种问题。

数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的探究过程，这个过程大致有以下几个步骤：（1）理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统;（2）把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据;（3）建立模型，可以是数量关系式，也可以是图形;（4）解答问题;（5）检验模型。

联系真生活、创设真情境、解决真问题，是未来数学问题解决教学改革的方向。新课标将强调让学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和应用意识。

传统教材应用题的编排结构是与四则运算、混合运算相匹配的，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较、多个问题构成的问题串，这些都是很好的传统做法和经验，是知识结构的基础。但是，这种结构往往是线性的。如果以数学模型为核心进行问题解决的变式练习，构建问题链，从而形成网状结构，可以最大限度地整合丰富多彩的问题。

我们主张加强分析法与综合法在模型思想教学中的应用。在数学中，分析法一般被理解为：在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。综合法一般被理解为：在证明和解决问题时，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的綜合法。如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推到已知条件，这是分析法;从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的相互依赖、相互渗透的思想方法。

分析法从问题出发逐步逆推，便于把握探索的方向;综合法的思维具有发散性，能够提供多种策略。简单的问题，往往直接应用综合法便可解决;复杂的问题，往往需要结合运用分析法和综合法。把二者结合起来，便于根据已知条件提供向问题靠拢的策略，使问题尽快得到解决。

我们要思考和研究一个现象：为什么在三年级时问题解决就出现了两极分化的现象？主要原因是创设联系实际的丰富情境，使得问题比较复杂，学生没有形成分析问题的方法，无法通过简单的模仿来解决问题。为了突破解决问题的难点，教师在教学过程中采取了各种办法，数形结合、几何直观、画图列表等，但是以上的策略都不是本质的方法，最重要的是让学生学会用分析法去执果索因（顺藤摸瓜），根据题目中要解决的问题，逆向思考，寻找需要的条件。下面我们以路程模型为例，论述有关的概念、关系、模型、思想方法及教学策略。

物体的物理属性有很多：线段的长短是距离、面的大小是面积、空间的大小是体积、轻重是质量、冷热是温度、运动的快慢是速度、价值的大小是价格（单价）等。以上这些物理属性的计量大体上可以分为两类：一类是用一个单位量去计量，如长度、面积、体积、质量、温度;另一类是必须用两个量进行计量，比如物体运动的快慢，单独用时间度量不行，单独用距离度量也不行，必须得用距离和时间的比值来度量运动的快慢。

我们对生活的地球空间和星球的运动过程进行度量，那就涉及距离和时间。关于路程、时间、速度，路程是距离的累加，距离是对空间事物位置关系的度量结果;时间是对事物运动的过程及先后关系的度量结果;速度是路程与时间的比值，或者是物体单位时间运动的路程，也可以理解为用时间去度量空间。也就是说，速度是一个复合量，是由时间和路程（空间）两个量生成的，时间是一个比较抽象的概念，而速度是一个更加抽象的概念。求速度是等分除，用时间去度量路程，把路程平均分成若干（时间的量数）份，每一份就是速度。已知路程与速度，求时间，是包含除，用速度去度量路程，看路程里包含多少个速度（速度的量数），度量结果就是时间。

要理解速度，首先要理解时间的概念及其重要性。时间源于地球、太阳、月亮的不停运动。地球自转一圈，把这个过程平均分成24份，每一份就是1小时;再把1小时平均分成60份，每一份就是1分钟;再把1分钟平均分成60份，每一份就是1秒钟。时间为什么重要呢？因为就我们生活的地球而言，人类和其他生物甚至包括地球本身都是有寿命的，人类的寿命也是非常有限的，中国人的平均寿命目前大约是77岁。时间就是生命，时间就是速度，时间就是力量。我们要用时间去度量生命，从而珍惜时间。

速度就是物体单位时间运动的路程，学生1秒走多少米，1分走多少米，1小时走多少米（千米）;再扩大到自行车、电动车、轮船、汽车、高铁、飞机、火箭、卫星、月球绕地球、地球绕太阳、光线等，由小到大理解速度。理解概念是理解和建立模型（结构）的基础。

我们还可以把速度与单价进行类比，单价是单位数量或者质量的物品的钱数，例如，1本书10元，写作10元/本;1千克苹果12元，写作12元/千克。还可以与工作效率进行类比，写作文每小时写500字，写作500字/时;铺路机每小时铺路100米，写作100米/时。无论是单价、工作效率，还是速度，都是单位1的量所对应的另一个量的大小。

很多专家反对解答应用题时“记类型、套公式”。怎么理解这句话呢？我们反对的是“死记硬背”，基本的公式当然需要记住，否则没有思维材料和载体，但是要在理解的基础上记忆，理解了一个模型，可以举一反三，以此类推。比如路程=速度×时间，学生理解了这个模型的基本概念、乘法的意义、数量关系，可以做到知二求一。这样任何一个相关的问题都可以一步一步分析解决，而不必关心什么情境、什么交通工具。如前文所述，通过变式练习，形成问题串，有利于学生完整地认识模型，形成模块结构。

以路程=速度×时间，用符号表示为s=vt为例，模型结构图如下，其中a是常数。

上图中s=vt及其基本变式v=s÷t、t=s÷v构成三角结构，然后分别向三个方向变化，各自改变一个变量或两个变量产生很多变式，这些关系式基本涵盖了小学数学有关时间、速度、路程的各种关系式。这样在解决所有相关问题时不必过多关注情境和交通工具，把思维主要集中在模型上。

例1 甲地到乙地原来运行的是动车，上午8时出发中午12时到达，运行路程是700千米。现在运行的是高铁，每小时比动车快105千米，上午8时从甲地出发，几时到达乙地？

我们用分析法解决问题，从问题出发，一步一步推导出需要的信息。

分析：（1）此題是生活中的实际问题，是关于路程=速度×时间的模型，从表面上看，信息丰富而复杂，实际上要解决的问题是求高铁的运行时间，t=s÷v。

（2）不管是动车还是高铁，题目中的s不变。

（3）高铁的速度没有直接给出，跟动车的速度有关，需要求动车的速度。

（4）根据题中的信息可知，动车的速度 v=700 ÷4=

175（千米/时），a=105千米/时。

（5）所以高铁的速度=105+175=280（千米/时），则t1=700÷280=2.5（时）。

（4）高铁8时出发，10时30分到达。

例2 甲地到乙地的铁路最早运行的是蒸汽机火车，上午8时出发，下午6时到达，运行路程是700千米。随着机车技术的不断进步，先从蒸汽机火车升级成内燃机火车，每小时比蒸汽机火车快30千米;然后又升级为动车，每小时比内燃机火车快75千米;现在升级为高铁，每小时比动车快105千米。高铁上午8时从甲地出发，几时到达乙地？

此题的分析思路不变，从问题出发，推导需要的信息，先后把高铁的速度与动车的速度、动车的速度与内燃机火车的速度、内燃机火车的速度与蒸汽机火车的速度进行关联和转化。难度没有什么变化，只要掌握了分析法等推理方法即可解答。

700÷10=70（千米/时），70+30=100（千米/时），100+75=175（千米/时），175+105=280（千米/时），700÷280=2.5（时），故10时30分到达乙地。

我们再来研究一道古代诗词中的数学问题。

例3 李白的著名诗句“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。”描写的是李白在流放途中突然得知被赦免而即兴创作的一首七言绝句。白帝城位于重庆市奉节县，江陵即现在的荆州市，两地的水路大约长340千米，千里江陵是一种夸张的说法，形容路途遥远。假设船顺流速度为20千米/时，如果李白早晨6：00出发，“一日还”是真的吗？

分析：根据给定的信息，从早晨6：00到当天晚上12：00的时间是18小时，要想判断当天能否到达江陵，就是要求出船行驶的时间，这个时间如果小于或者等于18小时，就是真的。

340÷20=17（时）

17<18，所以“一日还”是真的。