牛献礼

【摘 要】数学课程内容的一大特点是整体性，教学应当基于对数学知识结构的整体性思考来设计和组织教学，发展学生的结构化思维。在“有余数的除法”的教学中，笔者首先抓住新旧知识的联结点——平均分，让学生经历了“余数”与“有余数的除法”等概念的形成过程;其次，抓住“有余数的除法”和“表内除法”的内在联系，鼓励学生再创造有余数除法的算式，理解有余数的除法的算式中各部分的意义及其关系;最后，引导学生回顾与反思，把“有余数的除法”新知纳入已有的知识体系之中，推动学生对数学内容的整体把握和有效建构，从而达到完善和发展学生原有认知结构的目标。

【关键词】整体性思考 有余数除法 结构化学习

数学课程内容的一大特点是整体性，包括相同课程领域内不同知识之间的逻辑关系和层级关系（呈现不同数学知识之间的实质性关联），以及不同课程领域之间的实质性联系。教学应当基于对数学的知识结构的整体性思考，通过突出核心内容，关注不同内容之间的相互联系，以帮助学生理解数学内容的整体性特征，从而达到完善和发展学生原有认知结构的目标。下面，笔者以“有余数的除法”一课的教学为例，谈谈自己的思考与实践。

一、教学片段一

1.出示：把10根小棒分给小朋友，每人分2根，可以分给几人？每人分3根、4根、5根呢？

要求：同桌两人合作，动手分一分小棒，并把每次分的结果记录在表格里。

每人分几根 分给几人 还剩几根

2.全班交流

随着学生口述，逐步呈现如下四种分法。

把10根小棒分给小朋友。

师：在第二种分法中，最后剩下1根为什么不分了呢？

生：因为是每人要分3根，最后剩下这1根，不够再分给1个人了，就不分了。

师：在第三种分法中，最后剩下2根为什么也不分了呢？

生：因为是每人要分4根，最后剩下这2根，不够再分给1个人了，就不分了。

师：仔细观察这四种分法，它们有什么相同点？

（小组讨论，全班交流）

生：第一种和第四种分法都是平均分，因为每人分得一样多。

（课件演示：把每份圈一圈，发现每份确实同样多）

师：想一想，第二种和第三种分法是平均分吗？为什么？

生1：不是平均分，因为最后有剩余。如果把剩余的1根给第1人，第1人就多了;如果给第2人，第2人就多了……每人分得不一样多。

生2：我觉得它们都是平均分的，因为每份分得也是同样多的。

（课件演示：把每份的根数圈一圈，直观发现“每份同样多”）

师：不管每人分3根，还是每人分4根，只要每人分到的同样多，就是平均分！只不过，分到最后剩下1根或者2根，不够再分了，就剩余下来，这是“平均分”的一种新情况。

3.比较分类

师：根据刚才的讨论，你能给这几种分法分分类吗？

生：第一种和第四种分一类，它们“正好分完”;第二种和第三种分一类，它们“分后有剩余”。

板书：

【思考】布鲁纳认为：“学习就是认知结构的组织和重新组织。”只有抓住联系，才能更好地把握结构、理解结构、生成意义。数学教材的编排本身就具有自己的结构体系，但是如何将教材的知识结构转化为学生的认知结构，让学生能清晰地认识、有效地提取，就需要教师在设计教学时，遵循数学知识内在的逻辑机理，通过结构化的设计、模块式的意义重构、递进式的教学推进，帮助学生建立清晰的知识结构。在上述教学中，笔者抓住新旧知识的联结点——平均分，创设“分小棒”的操作情境，让学生自主发现在“平均分”时，存在“正好分完”和“分后有余”两种情况，体会“余数”和“有余数除法”产生的必然性。

学生仅有初步的知识结构框架是远远不够的，还需对结构内部相互关联的“结构点”进行“意义重构”。在上述教学中，笔者用一个表格整合了本节课所有操作活动的信息，这样做更有利于学生对平均分物品和除法运算的形成有完整的认识，更有利于概念的抽象和学生对概念的理解，也有利于新旧知识关系的沟通。笔者抓住新旧分法的“异同点”，对“分小棒”的多种情况进行比较和归类。一是引导学生厘清“正好分完”和“分后有余”两种情况的内在联系与本质区别，明晰“平均分”的内涵和外延——不管是“正好分完”还是“分后有余”，只要每份同样多，都是平均分，构建“平均分”新模型，帮助学生更加深刻地把握“平均分”的本质。二是经历余数与有余数除法等概念的形成过程，学生在多次操作的过程中强烈地感知“剩余”，并通过对“如何处理平均分的剩余部分”的辨析，初步了解“分后有剩余”时剩余部分数量与总数、每份数之间的关系，初步建立余数的表象。

二、教学片段二

1.探究“有余数的除法”的算式

师：想一想，怎样用算式记录这两种“正好分完”小棒的过程？

学生口述，师板书：

10÷2=5（人）

10÷5=2（人）

师（指分后剩余1根的分法）：想一想，怎样用算式记录这种“分后有剩余”的情况呢？试一试。

学生尝试完成后，在小组内交流算式和想法。全班交流时呈现以下三种典型算式：

（1）3×3+1=10（根）

（2）10÷3=3（人）剩1（根）

（3）10÷3=3（人）……1（根）

师：仔细观察这些算式，比一比，你覺得哪个算式最能清楚地记录分小棒的过程？

师（小结）：后两种算式都能清楚地记录分小棒的过程，数学追求“简洁”，10÷3=3（人）……1（根）更合适。

师：你能结合分小棒的过程，说一说算式中每一个数表示的意思吗？

生：10表示要分10根小棒，3表示每人分3根，3人表示分给了3人，1根表示分完后还剩下1根小棒。

师：在过去学习的除法算式中，10、3和3人分别叫什么名称？你觉得最后的1根应该叫作什么？

师（指分后剩余2根的分法）：你会用算式记录这种“分后有剩余”的情况吗？

（学生独立完成，集体评议）

师（板书）：10÷4 = 2（人）……2（根）

师：你能结合分小棒的过程，说一说算式中每一个数表示的意思吗？（生答略）

2.算式比较，理解“余数”与“除数”的关联性

师：请大家仔细观察这些除法算式，它们有什么相同点和不同点？

（学生各抒己见，教师利用结构化的板书，逐步构建除法的知识结构体系）

师（小结）：像这样“平均分东西”时，都可以用“除法算式”来记录分东西的过程和结果。不同的是，以往学习的除法算式都“没有余数”，是“表内除法”，而今天学习的除法算式“有余数”，这就是本节课我们学习的“有余数的除法”（板书课题）。

师：我们再来比较一下这两道有余数的算式，为什么第一道算式的余数是1，第二道算式的余数是2呢？

生：因为第一种分法是剩余1根，第二种分法是剩余2根。

师：因为第一种分法是每人分3根，除数是3，所以剩余1根，余数是1;第二种分法是每人分4根，除数是4，所以剩余2根，余数是2。余数跟除数有关。

【思考】数学学习需要经历将现实情境去伪存真，抽象出数学知识与特征，并用数学方式表征内化的过程。上述教学中，教师抓住“有余数除法”和“表内除法”的内在联系，借助“表内除法”的认知基础和活动经验，鼓励学生再创造算式，帮助学生初步建立有余数的除法中被除数、除数、商与余数之间的结构关系，初步形成有余数除法的表象。学生经历了由“表内除法算式”类推出“有余数的除法算式”的过程，初步培养了推理能力;经历了“直观动作思维—具体形象思维—抽象逻辑思维”的演变过程，初步培养了抽象思维能力;学会用数学算式描述平均分物品时有剩余的现象的过程和结果，建立“生活情境”与“数学符号”之间的联系，实现“现实世界”到“数学符号”的抽象，经历“有余数的除法”模型的建构过程，初步培养了数学建模能力;初步感知除数与余数的关系，为下节课探索余数与除法的关系做好铺垫。

三、教学片段三

1.圈一圈，填一填

（学生独立完成，教师巡视指导，然后全班交流）

师：这两个问题都用算式9÷2=4……1解决，想一想，它们表示的意思一样吗？

生：虽然算式一样，但由于分法不同，表示的意思也不同。但是，无论是“每人分2支”，还是“平均分给2人”，都会出现“分后有剩余”的情况，都可以用有余数的除法算式来表示。

2.拓展

师：你还能用“9÷2=4……1”编一个分东西的数学故事吗？

师（引导）：无论是分小棒、分铅笔，还是分糖，都能用数学算式来表示，你有什么感受？

生：数学的力量真大呀！

【思考】唯有学生自主地把数学概念与数学思想置于自身既有的体系之中加以结构化，并且能够适当地用来解决问题或是应用于新的情境，才能达到真正意义上的理解。在上述教学中，先将“有余数除法”模型由“包含分”迁移到“平均分”，并借助直观的“圈”“画”等方式，引导学生进行观察和比较，厘清两种分法的异同，沟通两种分法的联系，对比中辨析无论是“平均分物”还是“包含分物”，都有分不完的时候，都可以用“有余数的除法算式”表示分物的过程和结果，从而完善“有余数的除法”新知模型。接着，借助“编数学故事”，将有余数除法模型由“分铅笔”迁移拓展到“分书本”“分糖”“分组”……从而沟通了数学与生活的联系，培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析问题、解决问题的能力。

利用课件和板书回顾学习过程，学生畅谈本节课的收获和体会，逐步梳理、形成如下知识结构体系：

师：通过这节课的学习，我们知道了不仅存在没有余数的除法，也存在有余数的除法。事实上，没有余数的除法也可以看成有余数的除法中“余数为0”的特殊情况。

【思考】开展结构化学习，不只是为了完成知识的学习，形成结构化的认知图式，更重要的是让结构化思维从内心生长出来。为此，有必要让反思成为课堂学习的重要环节，学生在学中思、在思中悟。荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说：“只要儿童没能对自己的活动进行反思，他就达不到高一级的层次。”为此，在上述教学中，通过“回头看”这样一种思维活动促进学生对本节课所学知识及学习过程进行回顾和反思，把新学的知识纳入已有的知识结构体系之中，体会数学的逻辑美和简洁美，形成新的认知结构体系。

這样的结构化教学，可以推动学生对学习内容的整体把握和有效建构，促使学生慢慢养成结构化的思维方式，提升学生的迁移建构能力。课末教师的一句话“事实上，没有余数的除法也可以看成有余数的除法中‘余数为0’的特殊情况”，再次沟通了新旧知识的联系，帮助学生深化了对概念的理解，完善了学生的认知结构。