丁恩培

在正弦函数 y = A sin（ωx + φ） 中，A 为振幅，它与y = A sin（ωx + φ） 一个周期中的波峰、波谷有关；ω 为频率，与 y = A sin（ωx + φ） 的周期 T 相关，即 ω = 2πT ；φ 为初相，在一定程度上影響着 y = A sin（ωx + φ） 的对称轴、零点.根据图象求正弦函数 y = A sin（ωx + φ） 的解析式，关键在于求 A，ω，φ 的值.

1.求 A .可通过观察函数 y = A sin（ωx + φ） 的图象，找出图象在一个周期内的波峰、波谷，以确定最高点和最低点的纵坐标，二者之差的一半即为A（A>0）.

2.求 ω .根据函数的图象确定了 y = A sin（ωx + φ）的周期 T ，即可根据公式 ω = 2πT 求得 ω 的值.而 T 的值可根据对称轴之间的距离、最值点与最低点的横坐标之间的距离、对称中心之间的距离来求得.一般地，相邻的两条对称轴之间的距离为函数周期的 14 ；相邻的两个对称中心之间的距离为函数周期的 12 ；最高点与最低点的横坐标之间的距离为函数周期的 12 .

3.求 φ .根据图象一般不易得出 φ 的值，通常需将曲线上的点代入函数式中进行求解，同时要注意题目中对 φ 的限制条件.

在一般情况下，需先求得A、ω ，最后再求 φ .

例 1.图 1 为函数 f （x） = A sin（ωx + φ） （ω > 0，0 ≤ φ≤ π

2 ） 的部分图象，其中 A，B 两点之间的距离为 5，求该函数的解析式.

解答本题，需先根据图象中的最高点、最低点，确 定振幅 A 以及函数图象的半个周期，进而求得 A、ω 的值；再将特殊点（0，1）代入函数式中，即可求得 φ 的 值.在求 φ 时，通常要优先选择最值点，将其代入求解. 因为利用最值点计算出的 φ 值往往是唯一的，不会出 现多解的情况.

例2.如图2，函数 y = A sin（ωx + φ）（A > 0，0 < φ < 2π） 的图象经过点 ? è ? ? -π 6 ，0 ，? è ? ? 7π 6 ，0 ，且该函数的最大值为 2 、最小值为 -2 ，则该函数的解析式为（ ）.

根据该图象，可以快速确定最高点、最低点，求得 A 的值；对于 ω 的值，需将先在图象上确定两个零点 的位置，进而确定这两点间的距离与函数周期之间的 关系.在求 φ 时，需根据 y = A sin（ωx + φ） 图象中零点 的位置确定最值点的横坐标，再将其代入函数式中进 行求解.

例3.已知函数 y = A sin（ωx + φ） + m（A > 0，0 < φ < π 2 ） 的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间的最短距 离为 π 2 ，直线 x = π 6 是其图象的一条对称轴，则函数 的解析式为______.

本题中没有给出最值点的坐标，我们需从对称轴 x = π 6 入手，根据函数的对称轴 2?π 6 + φ = π 2 + kπ（k ∈ Z） 求得 φ 的值.这就要求我们熟记函数 y=Asin（ωx+φ）的 对称轴为 x = kπ ω - φ ω + π 2ω ，对称中心为 ? è ? ? ? ÷ kπ ω - φ ω，0 .

由图象求正弦函数的解析式，我们需熟练掌握 f （x） = sin x 的图象、对称轴、周期、对称中心、最值点， 将其与 y = A sin（ωx + φ） 的图象、对称轴、周期、对称中 心、最值点相对应，据此建立关系式，这样往往能事半 功倍.

（作者单位：甘肃省天水市秦州区平南中学）