李艳秋

以直线为载体求解点的坐标、线段的长度等的规律探究题，需充分发挥数形结合思想，从图形结构的形成过程分析，从问题的简单情形或特殊情况入手，探究发现、归纳猜想，方能用代数式描述出其中隐含的数学规律.

一、点的坐标规律

例1（2020·湖北·天门）如图1，已知直线a：y = x，直线b：y [=-12]x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，……按此作法进行下去，则点P2 020的横坐标为 .

解析：观察图象可知，当k = 4n + 1（n = 0，1，2…）时，[Pk]在第一象限且横坐标为正;当k = 4n + 2时，[Pk]在第二象限且横坐标为负;当k = 4n + 3时，[Pk]在第三象限且横坐标为负;当k = 4n时，[Pk]在第四象限且横坐标为正. 由2020 ÷ 4 = 505，可知点P2020的横坐标为正.

∵点P（1，0），PP1[⫽]y轴且P1在直线y = x上，∴P1（1，1）.

∵P1P2[⫽]x轴，∴P2的纵坐标与P1的纵坐标相等且为1.

∵P2在直线y [=-12]x上，∴1[=-12]x，∴x = - 2，

∴P2（ - 2，1），即P2的横坐标为 - 21.

同理，P3的横坐标为 - 21，

P4的横坐标为22，P5的横坐标为22，

P6的横坐标为 - 23，P7的横坐标为 - 23，

P8的橫坐标为24，……

由此猜想：当n为偶数时，Pn的横坐标为[（-1）12n][212n]，

∴P2020的横坐标为21010. 故应填21010.

二、线段的长度规律

例2（2020·辽宁·锦州）如图2，过直线l：y [=3x]上的点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2;过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3;……按照此方法继续下去，若OB1 = 1，则线段AnAn - 1的长为 . （结果用含正整数n的代数式表示）

解析：由直线l：y [=3]x，可求得直线l与x轴的夹角为60°.

∵OB1 = 1，A1B1⊥l，∴OA1[=12]OB1[=12]，

∴OA2 = 2OB1 = 2，∴A2A1 = 2 [- 12=32] = 3 × 2 -1.

∵OA2 = 2， ∴OB2 = 2OA2 = 4，∴OA3 = 2OB2 = 8，

∴A3A2 = 8 - 2 = 6 = 3 × 21，∴OB3 = 2OA3 = 16，

∴OA4 = 2OB3 = 32，∴A4A3 = OA4 - OA3 = 32 - 8 = 24 = 3 × 23，…

由此猜想AnAn - 1 = 3 × 22n - 5.

三、直线与坐标轴围成三角形的面积规律

例3（2020·四川·达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y = kx + k + 1与直线l2：y = （k + 1）x + k + 2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ;记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1 = ，S1 + S2 + S3 + … + S100的值为 .

解析：将直线l1和直线l2的解析式分别变形可得：

y = kx + k + 1 = k（x + 1） + 1，y = （k + 1）x + k + 2 = k（x + 1） + （x + 1） + 1 = （k + 1）（x + 1） + 1，

当x = - 1时，y = 1，所以无论k取何值，直线l1与l2都经过定点（ - 1，1）.

∵直线l1：y = kx + k + 1与x轴的交点为A [-k+1k，0]，

直线l2：y = （k + 1）x + k + 2与x轴的交点为B [-k+2k+1，0]，

∴以线段AB为底、定点（- 1，1）的纵坐标为高，Sk[ =12×-k+2k+1+k+1k ] × 1 [=12k（k+1）]，

∵k为正整数，∴当k = 1时，S1 [=12×11×2=14];

∴S1 + S2 + S3 + … + S100 = [12] [×] [11×2+12×3+…+1100×101]

[=12 × ][1-12+12-13+…+1100-1101][ =50101].

故应填：（ - 1，1），[12k（k+1）]，[50101].

（2020·辽宁·鞍山）如图3，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…在直线y [=33]x（x ≥ 0）上，若A1（1，0），且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，则线段B2019B2020的长度为（ ）.

A. 22021[3] B. 22020[3] C. 22019[3] D. 22018[3]

答案：D