【摘要】通过研究2021年全国高考数学新高考Ⅰ卷第八题，剖析失分原因，追寻命题历程，诠释考查目的，对比新旧课标、教材，引导“独立性”概念教学，提升教师专业素养.

【关键词】研究高考试题;引导教学;专业素养

1识得庐山真面目——高考真题再现

2021年新高考数学试题全面贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，有效落实立德树人的根本宗旨，完美诠释“一核、四层、四翼”高考评价体系.

新高考试题在聚焦数学素养、考查关键能力、突出数学本质、重视理性思维的同时，尤其关注数学基础知识、基本概念考查.其中，2021年全国高考数学新高考Ⅰ卷第八题对概念教学具有显著的引导作用，有利于提升教师专业素养.原题如下（以下简称案例1）：

案例1有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6.从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则（）.

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

2亡羊补牢未为晚——得分极低缘由

案例1创设“有放回摸球”情景，主要考查事件相互独立性，彰显“四翼”中的基础性.客观地讲，案例1属于考查基本概念、應用基本方法的基础题型.然而，统计数据表明，案例1失分严重.为何案例1得分率如此之低呢？笔者问卷调查部分教师，结果表明：

其一，教师普遍用解题教学替代概念教学，导致学生缺乏“造血”功能，这是数学概念教学长期以来存在的老大难问题;

其二，教师不舍得花时间深入研究新旧课标变化，缺乏对比新旧教材意识.“新瓶装旧酒”“穿新鞋走老路”大有人在;

其三，教师专业功底欠缺，难以深度剖析概念本质，导致独立事件、互斥事件与条件概率关系模糊不清，甚至混为一谈.

3打破砂锅问到底——追寻命题历程

高考试题是命题专家精心谋略、反复打磨的智慧结晶.只有明白每一道试题的来龙去脉，才能达到引导教学目的.那案例1又是如何命制的呢？事实上，绝大部分高考试题的“根”在课标、教材之中.这是公开的秘密，上述案例1正是如此.

3.1案例1的“根”就在新版课程标准中

请看文＼[1＼]125页例12（以下简称案例2）：

案例2：将一枚均匀骰子相继投掷两次，请回答以下问题：

（1）写出样本点和样本空间;

（2）用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”，试用样本点表示事件A;

（3）用Aj（j=1，2，3，4，5，6）表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”;用B表示随机事件“第一次掷出1点”，试用随机事件Aj表示随机事件B;

（4）用C表示随机事件“点数之和为7”，并求C发生的概率.

3.2案例1的“根”也在苏教版新教材中

请看文＼[2＼]278页例6（以下简称案例3）：

案例3：一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1～9这9个数（1张卡片上标1个数）.“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B.试判断A，B是否为相互独立事件.

3.3案例1的“根”还在人教版新教材中

请看文＼[3＼]248页例1，原题如下（以下简称案例4）：

案例4：一个口袋中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A为“第一次摸出球的标号小于3”，事件B为“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

至此不难发现命题专家用案例1中的“6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6” 等价置换案例2中的“一枚均匀骰子”;案例1中的“有放回地随机抽取两次”等价置换案例2中的“将一枚均匀骰子相继投掷两次”;案例1中的“第一次取出的球的数字是1”等价置换案例2中的“第一次掷出1点”;案例1中的“两次取出球的数字之和为7”等价置换案例2中的“点数之和为7”.高考命题专家正是以案例2为“根”，将案例2与案例3、案例2与案例4“嫁接”，从而命制出案例1.无独有偶，文＼[4＼]指出2018年全国高考数学卷Ⅰ理科12题就是以文＼[1＼]123页例11为“根”，将例11中9个相关问题有机融为一体，从而命制出一道高质量、高颜值的选择题压轴题，成为当年高考数学试题的亮点之一.

案例1再一次有力地说明课程标准中的案例、教材中的例题、习题往往成为命题专家命制试题的“抓手”.正所谓“题在书外，根在书（课标、教材）内”.

然而，文＼[5＼]（旧课标）自始至终没有出现相关例题.更令人遗憾的是，文＼[6＼]（人教版旧教材）提出独立性概念后也没有出现判断事件相互独立性的例题，而是“跨越式”地直接给出了利用独立事件概率乘法公式来计算的例题（即文＼[6＼]54页例3）.仅仅在文＼[6＼]55页的课后练习中“粗糙地”给出第1题（以下简称案例5）.这是文＼[1＼]与文＼[5＼]（新旧课标）、文＼[3＼]与文＼[6＼]（新旧教材）在“独立性概念”上较为明显的区别，从一个侧面也说明文＼[5＼]、文＼[6＼]没有足够重视独立性概念.从本质上讲，这也是文＼[5＼]、文＼[6＼]的瑕疵.以高考命题专家敏锐、犀利的目光，必然对课标、教材的“缺陷”了然于胸.也许高考命题专家正是出于提醒一线教师关注新旧课标、新旧教材在独立性概念上的差异而特意命制案例1.

案例5：分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面” 为事件B，“2枚结果相同” 为事件C.A，B，C中哪两个相互独立？

上述案例5的诉求是“事件A，B，C中哪两个相互独立？”.一般来说这种设问语气意味着事件A与B、事件B与C、事件C与A中既有独立事件也有不独立事件.事实上，事件A，B，C中任何两个事件都是相互独立的.由此说明上述案例5不尽人意，没有完全达到辨析、巩固、精致事件独立性概念的目的.

4解铃还须系铃人——对比各类教材

查阅百度可知，“独立”是指单独的站立或者指关系上不依附、不隶属，依靠自己的力量去做事情;“影响”是指以间接或无形的方式来作用或改变人或事的行为、思想.李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也.”足以说明概念教学在数学教学中占据举足轻重的地位，教材具有权威性.“独立事件”中的“独立”“影响”在数学教材中又是如何界定呢？“独立事件”概念在不同版本教材（含大学教材）中有何差异呢？

4.1以文＼[6＼]（人教版旧教材）为例

人教版旧教材将“事件的相互独立性”概念编排在文＼[6＼]（选修）第二章“随机变量及其分布”第2.2“二项分布及其应用”第2.2.2“事件的相互独立性”中.其中第2.2.1是“条件概率”.也就是说，文＼[6＼]不仅将“事件的相互独立性”与“条件概率”都安排在选修教材中，而且将“事件的相互独立性”安排在“条件概率”之后，即在“条件概率”的基础上，经过推理论证得到“独立性”概念.

文＼[6＼]在54页指出，由于事件A的发生不会影响事件B发生的概率，即

PBA=P（B）P（AB）=P（A）P（BA）=P（A）P（B）.

文＼[6＼]据此得到事件A与事件B相互独立的定义：

设A，B为两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立.同时指出，如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与，与B，与也都相互独立.并将这些结论作为课后习题，安排在文＼[6＼]第55页第4题.

人教版旧教材将“互斥事件”概念编排在文＼[7＼]（必修）第三章“概率”第3.1“随机事件的概率”及第3.1.3 “概率的基本性质”中.通过事件与集合对比引出交事件的概念.文＼[7＼]第119页指出，若A∩B为不可能事件，那么称事件A与B互斥.第120页指出，如果事件A与B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B），即为互斥事件的概率加法公式.

评注教师不是教教材，而是用教材教，关键在于创造性使用教材.为何文＼[6＼]没有像文＼[3＼]那样给出相关巩固例题呢？为何文＼[6＼]没有像文＼[3＼]那样重视独立性概念呢？是文＼[6＼]“疏忽”吗？其实，这不是文＼[6＼]编者“失误”，而是文＼[6＼]的理念决定的.因为文＼[6＼]将“独立性”概念作为“条件概率”的“附属品”，着重强调“条件概率”而有意弱化“独立性”概念，这正是文＼[6＼]将“独立性”概念安排在“条件概率”之后的原因所在.人教版旧教材将“独立事件”安排在文＼[6＼]，“互斥事件”安排在文＼[7＼]，人为割裂了二者之间的关联，致使不少教师误以为“独立事件”与“互斥事件”没有任何关联.

4.2以文＼[3＼]（人教版新教材）为例

人教版新教材将“相互独立事件”概念安排在文＼[3＼]（必修）第十章“概率”第10.2“事件的相互独立性”中;将“条件概率”编排在文＼[8＼]（选择性必修）第七章“随机变量及其分布”第7.1“条件概率与全概率公式”中.

文＼[3＼]第10.1.1“有限样本空间与随机事件”第226页提出樣本点、样本空间（这是中学阶段第一次明确提出“样本空间”“样本点”）等概念.第10.1.2“事件的关系和运算”第231页指出：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说事件A∩B是一个不可能事件，即A∩B=，则称事件A与事件B互斥（或不相容）.第10.1.4“概率的基本性质”第240页指出：如果事件A与B互斥，那么P（A∪B）=P（A）+P（B），并将互斥事件的概率加法公式推广到有限个事件.

文＼[3＼]第10.2“事件的相互独立性”第247页引入事件A与B相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立.同时通过“探究”栏目提出并证明了以下问题：如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与，与B，与是否相互独立？

文＼[8＼]在第46页指出，若事件A与B相互独立时，则P（AB）=P（A）P（B），且P（A）>0，则

PBA=PABP（A）=P（A）P（B）P（A）=P（B）.

反之，若PBA=P（B），且P（A）>0，则

P（B）=PABP（A）P（AB）=P（A）P（B）.

即事件A与B相互独立.

因此，当P（A）>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有PBA=P（B）.

评注人教版旧教材将独立事件安排在条件概率之后，而人教版新教材将独立事件安排在条件概率之前，并用“反之”二字强调它们之间的内在联系，这是人教版新旧教科书在“独立事件”编排上最为显著的变化.人教版新教材依据独立事件的概念论证了事件A与B相互独立等价于PBA=P（B），间接、隐约地暗示独立性概念是一个充要条件，而人教版旧教材则没有，这是人教版新旧教材又一个明显的区别.此外，人教版新教材不仅将“互斥事件”与“独立事件”都安排在必修教材，而且编排在相邻两节，足以看出新教材已经关注到人教版旧教材的“不妥”，有利于师生构建二者之间的网络，这是新旧教材在二者内容编排上的明显变化.这些理应引起一线教师的高度关注，这也许正是2021年高考命题专家命制案例1的另一个真正用意，借此警醒一线教师对比教材、研究教材，密切关注教材内容编排次序的变化.

4.3以文＼[2＼]（苏教版新教材）为例

苏教版新教材将“事件的相互独立性”概念编排在文＼[2＼]第十五章“概率”第15.3“互斥事件和独立事件”中.文＼[2＼]第276页给出事件A与事件B相互独立的定义：一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件.并给出以下结论：A，B相互独立P（AB）=P（A）P（B）.

评注文＼[2＼]特意借助等价符号“”，更加明确、直白地指出了独立性定义是一个充要条件命题.与此同时，文＼[2＼]通过第276页的例4与第278页的例6（即上述案例3）的详细推理、计算，着重指出：“A，B独立与否有时很难从直观上作出判断，唯有经过概率之间的关系才可以作出理性而准确的判断.”这正是案例1失分的主要原因——考生仅凭经验与直观感知“影响”，由此也说明高考命题专家捏准了考生的痛处.正如文＼[9＼]中强调：“事件M发生是否‘影响’事件N，不能仅仅从表面，不要以为事件N所含基本事件个数在表面上的减少就是受到了‘影响’”“当总的基本事件个数减少（即样本空间缩小）时，概率计算公式中分母变小，还应该看到其分子同时也在相应减少.当分子、分母同时减少，只要其比值不变，我们就认为是不受‘影响’，即认为是独立事件.”文＼[2＼]不仅拉近“互斥事件”与“独立事件”的距离，而且直接将文＼[2＼]第15.3小节标题命名为“互斥事件和独立事件”，足以说明文＼[2＼]高度关注一线教师的困惑：“互斥事件”与“独立事件”是否有关联？关联度由多大？于是文＼[2＼]特意在第278页通过课堂巩固练习的第1题（以下简称案例6）达到“画龙点精”的效果，将互斥事件、独立事件的概念及互斥事件与独立事件之间的关系刻画得清清楚楚、明明白白.

案例6：下面的说法正确吗？

（1）甲、乙、丙三人轮流抛掷一枚硬币，甲抛掷的结果是正面，乙抛掷的结果也是正面，则丙抛掷的结果是正面的可能性很小.

（2）若A，B为互斥事件，则A，B必为相互独立事件.

4.4以文＼[10＼]（大学教材）为例

大学教材将“事件的相互独立性”概念编排在文＼[10＼]第21页，其定义与文＼[6＼]完全相同，而且文＼[10＼]直接给出以下定理：

定理设A，B为两个事件，P（A）>0，P（B）>0.若A，B相互独立，则P（BA）=P（B）;反之亦然.

评注上述定理中特别加注“反之亦然”，明确无误地指出上述定理逆命题也是成立的.即当P（A）>0，P（B）>0，则事件A，B相互独立P（AB）=P（A）P（B）.由此可以看出文＼[2＼]与文＼[10＼]都明白清楚地指出事件A，B相互独立与P（AB）=P（A）P（B）具有等价性，既为判断独立事件提供了理论依据，同时也为判断独立事件指明了具体的操作步骤.我们呼吁人教版教材再版时能够参照文＼[2＼]（苏教版新教材）与文＼[10＼]（大学教材）.

5拨开云雾见天日——得到相关结论

结论1：事件A与事件B互斥A∩B=. 特别地，不可能事件与任意事件互斥，必然事件与不可能事件之外的任意事件均不互斥.

结论2：对于事件A与事件B，且P（A）>0，P（B）>0，若事件A与B互斥，则事件A与B不独立.特别地，必然事件、不可能事件与任意事件都是相互独立.

结论3：对于事件A与事件B，且P（A）>0，P（B）>0，则有事件A与B相互独立P（AB）=P（A）P（B）P（B|A）=P（B）P（A|B）=P（A）P（B|）=P（B）P（A|）=P（A）.

評注借助结论1并通过集合运算可以判断是否为互斥事件.借助结论2可以快速判断互斥事件与独立事件之间的关联，因为事件A与B互斥，推出事件A与B不相互独立;事件A与B相互独立，推出事件A与B不互斥.结论3为判断独立事件提供了多种不同的路径.

6横看成岭侧成峰——列举不同解法

对于上述案例1，为了便于叙述，不妨用E，F，G，H分别表示事件甲，事件乙，事件丙，事件丁.由题意可得，

样本空间Ω={（m，n）|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，即n（Ω）=36;

事件E={（1，n）|n∈{1，2，3，4，5，6}}，即n（E）=6;

事件F={（m，2）|m∈{1，2，3，4，5，6}}，即n（F）=6;

事件G={（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）}，即n（G）=5;

事件H={（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3）}，即n（H）=6.

事件EG=，即n（EG）=0;事件EH={（1，6）}，即n（EH）=1;

事件FG={（6，2）}，即n（FG）=1;事件GH=，即n（GH）=0.

依据古典概型计算公式得到：

P（E）=n（E）n（Ω）=16， P（F）=n（F）n（Ω）=16，P（G）=n（G）n（Ω）=536， P（H）=n（H）n（Ω）=16，P（EG）=0，P（EH）=136，P（FG）=136，P（GH）=0.

解法1（直接公式法）由上述分析可得：

P（E）·P（G）≠P（EG），

P（E）·P（H）=P（EH），

P（F）·P（G）≠P（FG），

P（G）·P（H）≠P（GH）.

说明事件E与事件H相互独立，即事件甲与事件丁相互独立，故答案为B.

解法2（条件概率法）依据条件概率计算公式可得，PHE=P（EH）P（E）=n（EH）n（E）=16，P（H）=n（H）n（Ω）=636=16PHE=P（H）.

说明事件E发生没有影响事件H发生的概率，即事件甲与丁相互独立，故答案为B.

解法3（结论排除法）由于事件EG=，GH=，说明事件E与G互斥，事件G与H不独立.依据前面的结论可知事件E与G不独立，事件G与H不独立，从而排除选择支A与D.作为单选选择题，选择支B与C必有一个正确、一个错误.由于事件EH与FG包含样本点个数相同（均为1个），但是事件F与G包含样本点个数不同，而事件E与H包含样本点个数相同，说明事件E与H相对于事件F与G来说没有受到“影响”，可以排除选择支C，故答案为B.

解法4（“独立”本源法）一方面，在事件E发生前提下，即E={（（1，n）|n∈{1，2，3，4，5，6}}，此时事件H即事件HE所包含的基本事件仅仅只有{（1，6）}，因此在事件E发生的前提下，事件H发生的概率为PHE=16;

另一方面，在E不发生的前提下，即={（m，n）|m∈{2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}}，表明包含30个基本事件，此时H即H包含5个基本事件：{（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，于是在E不发生前提下， H发生概率为PH=PHP=nHn=530=16，这就说明事件E不发生时，事件H发生的概率还是为16.说明事件E发生与不发生，事件H发生的概率恒为定值，这正是独立性的本质，即事件甲与丁相互独立，故答案为B.

评注解法1直接套用公式，这是判断独立事件最基本的方法;解法2立足于条件概率，表明条件概率与独立事件之间的内在联系;解法3借助结论，简洁快捷，适合选择题，尤其单选题;解法4回归独立事件的本源，即一个事件发生与不发生，另一个事件发生的概率恒定不变.事实上，两个事件相互独立的本质含义是其中一个事件的是否发生不会影响到另一个事件是否发生.值得特别说明的是，此处“其中一个事件的是否发生”包括这个事件发生与不发生两种情况;“不会影响到另一个事件是否发生”真正含义是“一个事件的是否发生不会影响到另一个事件发生的概率（结果），而不是表面的现象（过程）”.

7一叶落知天下秋——提升专业素养

案例1考到了数学教学核心——树立概念优先原则，精致数学概念，追求数学概念的本质.案例1考到了概念教学弊端——长期以来，用解题教学替代概念教学，概念教学严重异化为“一个定义、二项注意、三个例题、N个强化训练”.概念是数学的细胞，概念是思维的载体.数学概念是进行推理、判断、证明的依据，是构建定理、法则、公式的基础.概念教学是数学教学的核心环节，整个数学知识体系是建立在概念基础之上的.概念教学要求学生全程参与概念产生、生成过程，体验概念引入、发展、归纳及提炼历程，让学生在辨析概念基础上巩固、精致概念，在构建概念动态过程中理解、掌握、悟透概念特征与本质，构建魅力课堂，优化思维品质，激发创新意识及创造能力.案例1考到了数学教师痛处——对事件独立性、互斥事件及条件概率等概念模糊不清，正如李勇与章建跃等专家在文＼[11＼]中忧心忡忡地警示：“通過调查研究以及收集的数据统计结果表明，纵使是处于金字塔顶部的重点高中数学教师，他们的概率统计知识储备严重不足，80%以上的教师对大部分概率统计基本概念的认识都处于模糊状态，理解深度不够，缺乏用这些概念答疑解惑的能力，影响概率统计知识的教学效果.”案例1考到了评价标准——“一核、四层、四翼”，正如文＼[12＼]明确指出“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”不仅是高考评价理念，更是日常教学依据.

前事不忘后事之师.数学教学难就难在概念教学.概念教学是一个艰辛、漫长的过程.正如文＼[13＼]指出概念教学不仅要从正面（既可以是新授课，也可以复习课）阐述概念内涵、外延等本质属性，同时不妨尝试从反面（既可以是教材中的反例，也可以是失分严重的试题）案例中剖析概念，适当地、有意识地在学生出现错误后采取“事后补救”.如果把概念新授看作正面引领，倡导“惩前毖后”，那么“事后补救”就是反面纠正，实施“治病救人”.事实证明，借助对经典高考试题（比如上述案例1）的深度研究，追踪相关概念（比如独立事件、互斥事件）在不同版本教材中的呈现（含不同版本的新旧教材、大学教学等），这也是倒逼教师厚实业务水平、提升专业素养的一种有效策略.

参考文献

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作者简介王淼生（1966—），男，中学正高级教师，特级教师，“苏步青数学教育奖”一等奖获得者，第六届全国教育科学研究优秀成果奖二等奖获得者，“福建省基础教学成果奖”特等奖获得者，中国数学奥林匹克高级教练，福建省高层次人才，厦门市拔尖人才，厦门市首届名师工作室领衔人，厦门市卓越教师，厦门市专家型教师，厦门市杰出教师.