宋燕伶 彭刚

【摘要】选取2011年和2019年出版的两套北师大版高中数学教材作为研究对象，采用内容分析法，分别对教材中跨学科内容的学科来源、呈现位置、呈现方式、使用目的、知识领域等指标进行统计分析，并为数学教师的教学提供参考建议：加强不同学科教师间的交流协作，拓展跨学科内容的广度和深度;提供跨学科学习的机会，落实数学探究活动的价值.

【关键词】高中数学教材;跨学科内容;北师大版;教材比较

随着现代教育进入多学科相互融合的时代，数学学科与其他学科的联系也越来越密切.在《普通高中数学课程标准（2017年版）》基本理念的指引下，高中数学课程更加注重数学与生活以及其他学科的联系＼[1＼]，跨学科内容成为了数学教材的一大特色.数学教材中的跨学科内容主要是指，在数学教材中将两门及以上不同学科的知识结合在一起的内容，从概念、原理、方法、思想的简单交流到深层次的相互联系＼[2＼].通过融入不同学科知识，有助于打破学科壁垒，彰显数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

1跨学科内容研究现状

国内已有学者对数学教材中的跨学科内容进行了相关研究，概括起来主要有两个方面：其一，聚焦于数学教材跨学科内容的文本分析.例如，潘小勤，张维忠采用内容分析法，量化分析了新人教A版高中数学必修教材中的跨学科内容的分布特征，并为教材的编写提出了建设性意见＼[3＼].其二，对不同版本数学教材中的跨学科内容进行横向比较，包括国内不同版本和国内外多个版本的比较.例如，尚念在其硕士论文中对我国人教版、上教版和美国加州版三套初中数学教材中“数与代数”部分的跨学科内容进行了具体分析和相互比较＼[2＼];朱树金基于跨学科视角，对我国人教版和美国MG版高中数学教材中“指数函数与对数函数”“圆锥曲线”和“随机变量”三部分内容进行了比较研究＼[4＼]，他们的研究成果为我国数学教材的编写提供了丰富的理论参考.

可见，已有研究主要集中于数学教材跨学科内容的横向比较，尚缺乏对不同时期同一版本教材的纵向比较.然而，随着新课程改革的不断深入和数学教育的发展，数学教材也在不断更新改版，以适应新课改的发展要求.教材作为教师教学的重要工具，研读教材是用好和用活教材的关键.因此，对我国不同时期数学教材中的跨学科内容进行比较研究，有助于了解我国数学教材跨学科内容的变化趋势，更有益于一线教师的教材解读和数学教学.

2研究设计

2.1研究对象与研究方法

研究选取北京师范大学出版社于2011年出版的《普通高中教科书·数学》（简称旧教材）和2019年出版的《普通高中教科书·数学》（简称新教材）中的必修教材作为研究对象.考虑到新旧版本教材必修部分的内容有所差异，本研究以《普通高中数学课程标准（2017版）》给出的必修课程内容为标准，选取集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式、函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、函数应用、平面向量及其应用、复数、立体几何初步、概率、统计以及数学建模活动与数学探究活动等14个单元作为最终的研究对象.基于“跨学科”的视角，采用内容分析法，统计并分析教材中的跨学科内容.

2.2分析框架

本文基于其他学者＼[24＼]建立的分析框架，建立了包含学科来源、呈现位置、呈现方式、使用目的、知识领域五个维度的数学教材跨学科内容分析框架.其中，根据《中华人民共和国学科分类与代码国家标准》（2009年版）将学科来源划分为自然科学、农林科学、医药科学、人文与社会科学、工程与技术科学5类，如表1所示.对于知识领域，则依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》将其分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动5部分，其他维度的划分见表2.

2.3计数说明

为了更好地区分数学教材跨学科内容分析框架中的各子维度，获取有效的数据，作出以下几点补充：

1.对于学科来源的统计，若同一处跨学科内容涉及多个不同类别的一级学科，则对应的学科类别均计数1次;若同一处跨学科内容涉及多个同类别的一级学科，则相应学科类别只计数1次.

例如，新教材必修第一册112页的例8“……在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代，已知放射性物质的衰减服从指数规律：C（t）=C0e-rt，……”涉及考古学和化学学科的知识，由于考古学与化学属于不同学科类别，故对应的人文与社会科学类和自然科学类均计数1次.

2.对于呈现位置、呈现方式、使用目的以及知识领域的统计，每一处跨学科内容均只属于其中一个子维度.

例如，上述跨学科内容以文字的形式出现，分布于“对数函数的图象和性质”章节，主要是为了应用其他学科知识巩固数学知识的理解.因此，根据分析框架，应将其归为“例题”“文字”“应用巩固”和“函数”这些子维度.

3研究结果与分析

为确保编码的科学性和客观性，本研究先由几位熟悉计数说明的研究者独自对两个版本教材中的跨学科内容进行编码，然后进行结果比较，对有异议的结果进行讨论，最终得到一致的结果. 统计发现，新旧教材分别出现了151和205处跨学科内容.由于新教材必修部分共有489页，旧教材必修部分共有562页，所以二者在跨学科内容的密度分布上相差不大.

3.1跨學科内容的学科来源与使用目的分析

由表3可知，新旧教材中的跨学科内容主要涉及自然科学和人文与社会科学两大类，其次是工程与技术科学，主要来源于物理学、化学、生物学、经济学、社会学、体育科学和计算机科学7个学科.正如高斯所说：“数学是科学的皇后.”数学作为自然科学的基础，渗透于社会生活的方方面面，在自然科学和社会科学中发挥着重要作用.

皮亚杰认为各学科间的相互合作和同学科间各部分的合作导致了相互作用和对各方面都有好处的相互交流.数学教材融入其他学科的知识，在一定程度上促进了数学教学，益于学生利用不同学科知识理解数学规律，把握数学本质.由表4可知，新旧教材必修部分的跨学科内容主要以巩固应用和情景导入为设置目的.可见，新旧教材不仅注重以其他学科的知识为背景引入数学概念、性质等教学，而且还设置了众多以其他学科为背景的例题和习题，以巩固学生对数学概念的理解和应用.例如，新教材必修第一册“函数的表示法”章节以医学中直观的心电图引入“函数的图象表示法”的学习.

3.2跨学科内容的呈现位置与呈现方式分析

数学教材主要包括章前言、正文、例题、习题、专栏等重要部分，为了比较跨学科内容在教材中的不同位置，本文将其分为非正文（章前言、脚注）、正文、正文例题、习题以及专栏五部分，统计得到北师大版高中数学新旧教材必修部分的跨学科内容的呈现位置如表5所示.

由表5可知，新旧版本教材在不同位置均涉及到跨学科内容，两版教材的跨学科内容主要集中于正文和习题部分，其次是例题，较少出现在专栏和非正文等位置.需要指出的是，新旧教材的专栏名称都是阅读材料，这部分常涉及一些数学史料的拓展和信息技术的应用，所以其中的跨学科内容的数量相对较少，且学科来源单一.

在呈现方式上，文字、图表是数学教材的主要呈现方式，本文将跨学科内容的呈现方式分为文字、装饰图、图文并茂三种，统计结果如表6所示.不难发现，北师大版高中数学新旧教材必修部分主要以文字和图文并茂两种方式呈现跨学科内容，较少出现装饰图.其中，旧教材中文字和图文并茂两种方式的占比相差不大，而新教材中文字所占比例高于图文并茂.这说明旧教材充分考虑到学生学习数学的心理规律，图文并茂的方式有利于缓解学生纯文字学习的“枯燥”.而新教材在旧教材的基础上，加强运用文字语言和数学语言呈现其他学科知识与数学知识的联系，对学生阅读理解能力提出了更高要求.

3.3跨学科内容的知识领域分析

由表7可知，新教材在函数、几何与代数以及数学建模活动与数学探究活动这三个领域占比较大，其次是概率与统计，而在预备知识这一领域的跨学科内容最少，仅占2%.而旧教材在函数、几何与代数以及概率与统计占的比重很大，在数学建模活动与数学探究活动中的跨学科内容最少.

经统计各知识领域在新旧教材各册的分布：

第一，在函数领域，新教材中的跨学科内容集中于必修第一册函数、指数运算与指数函数、对数运算与对数函数、函数应用以及必修第二册三角函数等五章内容，而旧教材中的跨学科内容分散于必修1的函数、指数函数与对数函数、函数应用，必修4的三角函数、三角恒等变形以及必修5的解三角形等章节.例如，在“生活中的变量关系”章节中，新旧教材都通过列举弹簧的伸长量与弹力的关系（物理）、不同气压下水的沸点的关系（化学）以及银行中利息与存款天数（经济学）等不同学科的实例，引出了数学中的变量关系.另外，新教材在旧教材的基础上，删减了一些较为陈旧的跨学科内容，保留了贴近时代发展的内容，例如在“生活中的变量关系”中删减了“我国1988-2001年全国高速公路总里程”这一实例，留下了“2008-2017年我国高铁年运营里程变化”的实例.

第二，在几何与代数领域，新旧教材的跨学科内容都集中出现在“平面向量及其应用”和“立体几何初步”这两个单元，其中在“平面向量及其应用”这一单元的跨学科内容的数量分别达到了38次和29次，但主要涉及物理学科的内容（力、位移），学科来源较为单一.

第三，在概率与统计领域，新旧教材所包括的跨学科内容较为丰富，涉及体育学、环境科学、物理学、文学等不同学科的内容.例如，教练通过比较两名射击运动员成绩的平均数和方差来选拔参赛选手，其中涉及数学知识与体育竞技的结合;一道概率习题：“俗话说：‘三个臭皮匠，赛过诸葛亮’请从概率的角度谈谈对这句话的认识.”巧妙地将数学知识与谚语相结合，在激发学生学习兴趣的同时还能检验学生对概率的理解程度.

第四，在数学建模活动与数学探究活动领域，新旧教材在编写上存在较大差异.数学探究活动是运用数学知识解决问题的一类综合实践活动，旧教材中主要以“探究活动”或“课题学习”的名称出现，主要分布于每本必修教材的最后部分，内容相对较少.例如，旧教材必修1在教材最后几页给出了一个探究活动“同种商品不同型号的价格问题”.而新教材专门在必修第一册第八章和必修第二册第三章设置了两章的数学建模活动的内容，并且分类给出了41个融合不同学科知识的探究活动，满足了不同学生的选择需求.可见，新教材提升对学生数学建模素养的要求，重视学生从数学视角发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，突出数学的应用价值.

4研究结论与建议

4.1结论

从上述统计分析，可以概括出北师大版高中数学新旧教材必修部分中跨学科内容在编写上的特征和变化趋势.

1.从数量上来看，北师大版高中数学教材中的跨学科内容从追求内容数量转变为追求内容质量.新教材在落实新课标基本理念的基础上，更加注重推陈出新，精选课程内容，以适应时代发展和学生的需求.

2.从学科来源上看，新旧教材中的跨学科内容虽然涉及不同学科，但主要来源于自然科学和人文与社会科学两大类.这与数学学科属于自然科学类的学科本质有很大关系，因此未来数学教材中的跨学科内容很大程度上还将来源于自然科学类学科.

3.从呈现位置和使用目的上看，舊教材中的跨学科内容主要出现在习题和正文中，其中习题的占比最大;而新教材调整了习题数量，相应的以跨学科内容为背景的习题数量也有所减少，这表明数学教材在与其他学科融合时，不再仅仅停留在浅层次的应用上，注重提高教材中跨学科内容的深度，逐渐从重解决问题向重理解知识过渡.

4.从知识领域上看，新旧教材中的跨学科内容在各个知识领域中的分布并不均衡，各有侧重.最显著的变化就是，新教材在数学建模与数学探究活动领域设置了较多融合不同学科知识的探究活动，这表明数学探究活动正在成为高中阶段数学课程的重要内容之一.

4.2建议

教材作为教师教学的重要工具，研读教材是用好和用活教材的关键.正如一些学者所说，数学教材是数学课程发展、研究过程以及整个数学教育史中最为可靠和重要的历史见证＼[5＼].本文在对比分析新旧教材跨学科内容的基础上，对高中数学教师的跨学科内容教学提出了以下两点建议：

4.2.1加强不同学科教师间的交流协作，拓展跨学科内容的广度和深度

研究表明，北师大版高中数学新旧教材中的跨学科内容虽涉及多个学科、多种形式，但还存在层次不分明、广度和深度不够等问题.此外，由于一些数学教师对其他学科的知识不熟悉，他们只是简单地借用其他学科的情境引入数学教学或者直接忽略一些跨学科内容，使得不同学科的交融只停留在形式层面.

因此，教师在使用教材时不仅需要考虑到这些问题，还要思考如何促进不同学科的深度融合.所谓术业有专攻，数学教师在面对教材中不熟悉的跨學科知识时，应该主动打破学科壁垒，多与其他学科的教师沟通交流，探讨不同学科的区别与联系，以促进不同学科的深度融合.例如，高中数学教材“平面向量及其应用”章节中涉及众多物理学科的知识，教师需要提前和物理老师沟通，了解学生对位移、速度、力等物理量的理解情况，进而优化自己的教学设计，而不是盲目地使用教材的情境引入教学.在引入向量的概念后，教师还需要引导学生发现向量与这些物理量间的区别和联系.

4.2.2提供跨学科学习的机会，落实数学探究活动的价值

笔者统计时发现，新教材“数学建模与数学探究活动”中的跨学科内容编写得很有特色，编写者从走进数学建模、数学建模的主要步骤、数学建模活动的主要过程三个部分详细介绍了数学建模活动，最后还列举了众多涉及不同学科知识的研究问题.可见，数学建模与数学探究活动也是高中数学课程的重要内容.

因此，教师不能“为高考教、为高考学”而放弃这部分内容的教学，而应有计划、有组织地为学生提高跨学科学习的机会.新教材给出的探究活动很多带有明确的学科导向，这些数学探究活动正是学生跨学科学习的重要素材.教师可以根据学生的兴趣，组织学生以小组的形式开展不同的跨学科数学探究活动，使学生经历合作交流、发现问题、提出问题和解决问题等过程，进而提升数学建模、数据分析、逻辑推理等数学素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018，1.

[2]尚念.中美初中数学教材跨学科内容的比较研究＼[D＼].上海：华东师范大学，2017.

[3]潘小勤，张维忠.高中数学教材中跨学科内容的呈现——以新人教A版高中数学必修教材为例＼[J＼].中学数学教学参考，2020（13）：3134.

[4]朱树金.中美高中数学教材跨学科内容比较研究＼[J＼].中学数学月刊，2020（08）：4750.

[5]朱雁，倪明，孔令志，范良火.数字时代中的数学教材研究与开发及使用——第三届国际数学教材研究和发展会议综述＼[J＼].数学教育学报，2020，29（02）：9499.

作者简介宋燕伶（1997—），女，广西平南人，广西师范大学数学与统计学院2020级硕士研究生;主要研究数学课程与教学论.

彭刚（1978—），男，湖北随州人，博士;主要研究数学史与数学教育、数学方法论.