【摘要】MM教育方式是指运用数学方法论的观点来指导数学教学，即应用数学的发展规律、数学的思想方法和数学中的发现、发明与创新的观点设计数学教学. MM实验开展至今已有30多年，数学课程几经改革，MM教育方式却依然令人关注，但再成功的教学范式，都需要创新和发展，从培养学生能力和素养的视角重新审视MM教育方式，具有重要的现实意义和深远的历史意义.

【关键词】数学方法论;MM教育方式;MM实验传承;创新发展

1989年，在著名数学家徐利治教授的积极倡导下，由无锡市教研中心徐沥泉先生领题，开展了MM（Mathematical Methodology）实验. MM教育方式作为国际数学科学方法论与我国数学教育实践相结合的成功范式，30多年以来，长期受到业内人士关注. 究其原因，一方面，MM教育方式具有前瞻性、科学性和先进性;另一方面，MM教育方式具有实践性、贯通性和普适性.因此，无论是数学教育理论界，还是教学实践层面，都具有极其重要的研究价值. 教育实践表明，MM教育方式经历了长期洗礼，依然散发着浓郁的学术气息，并在课堂教学中充满了勃勃生机.

新一轮课程改革，为了落实“立德树人”的根本任务，充分发挥课程育人功能，提出了发展学生核心素养的目标. 如何找到有效的教学抓手，MM教育方式是一条值得选择的途径. 重温经典是创新的基础，对接现代是最好的传承. 传承经典，首先要理解其内涵，并发掘其潜在的价值，其次应力求与时俱进，开拓创新. 本文试图以高中数学教育为例，对MM实验的内涵及构成，包括研究目标、两个基本原理及八个操作变量作一些疏理、分析和完善，并通过若干典型教学案例的展示和剖析，增強广大教师对MM教育方式的理解，让其成为广大教师开展课程改革的教学抓手.

1重释MM实验内涵，完善相应操作变量

所谓MM教育方式，简要讲就是用数学方法论来指导数学教学，即运用数学的发展规律、思想方法及数学中的发现、发明及创新的观点设计数学教学，其教学目标是提高学生的科学、人文及审美素养，形成和发展学生的数学品质和数学精神. MM教育方式是在传承G·波利亚的数学教育思想及科学方法论的基础上，结合我国数学教育的特点，在实践中不断加以完善、改革和创新，以发挥数学课程的科学价值和育人价值＼[1＼]. 可见，虽历经时代变迁，但MM实验的顶层设计与当今新课改理念仍完全耦合.

1.1建议增设第三基本原理

MM实验设计中，提出了该教育方式必须遵循的两个基本原理：一是将教学、研究和发现同步协调地推进;二是既教猜想又教证明＼[2＼]. 其中，原理一是当下研究性教学核心理念的诠释，原理二是数学方法论在课堂教学中的具体运用，这两个原理依然符合培养学生能力和素养的要求. 但由于受时代的局限，当时应用数学的发展水平与当今不可同日而语，相应地MM实验没有单独设计应用数学的方法论原理，而新课改理念突出了数学的关联性原则，即既要注重数学知识之间的内在联系，又要关注数学与现实及其他学科的联系. 在数学核心素养的六个要素中，数学抽象、逻辑推理、数学运算及直观想象是以往大家熟悉的要素，数学建模和数据处理则是课改后提出的新要素，主要围绕应用数学的发展，对高中学生提出的新要求，其目标是培养具有实践能力和创新意识的复合型人才. 为了体现MM实验的时代性，我们建议增设原理三：将数学知识之间、数学与现实及其他学科之间形成联系. 这样构建的三个基本原理，既展现了对经典数学方法论的坚持，又体现了对应用数学方法论的吸纳，既展现了对成功范式的传承，又体现了顺应时代发展的创新，从而形成更为全面和科学的体系.

1.2建议整合八个操作变量

在MM实验倡导的教学过程中指出，教师要有意识、有目的、恰当地操作好八个变量，即数学的返璞归真教育、审美教育、发现法教育、数学家优秀品质教育和数学史教育、数学中的演绎及合情推理和一般解题方法的教育＼[3＼]. 为了与当下约定的学术用语保持一致，笔者建议将“发现法教育”替换为“数学探究教育”. 将“数学家优秀品质教育和数学史教育”合并为“数学文化教育”，这样既简化了叙述，又丰富了内涵. 由于2004年版高中教材专设了“推理与证明”的内容，因此，可将“数学中演绎推理及合情推理”简化为“数学推理教育”. 为了克服“一般解题方法教育”带来教师理解上的泛化，建议改为“解题策略教育”，特指波利亚将数学解题分成的四个步骤：弄清问题、拟定计划、实施解答、回顾反思. 为了体现基本原理三，拟增加“数学应用教育”及“数学项目教育”，其中前者指数学与社会、生产、生活等联系，包括作为背景材料的实际问题引入、应用题及数学建模教学;后者指在复杂背景下，数学结合其他学科的知识、思想方法，开展高质量的项目学习，它具有驱动性问题设计、对大概念的追求、持续探究的过程性、指向核心知识等重要特征. 由此得到新的八个操作变量，并重新编排为：返璞归真教育、解题策略教育、数学推理教育、数学探究教育、数学审美教育、数学文化教育、数学应用教育、数学项目教育. 这样组成的新的八个操作变量，其中六个是原来操作变量的沿用、简化、兼并或重组，具有很好的传承性，另外两个是依据新课程理念新增的操作变量，体现了与时代同步的创新与发展. 八个新操作变量既互为独立，又相互联系，形成一个相对完整的体系，共同指向MM教育方式的思想、目标和要求，期待成为广大教师落实核心素养理念的教学抓手.

2在教学实践中探索，在研究反思中提高

MM教育方式内涵及构成要素的完善，为具体的教学实践提供了依据和方向，但如何保证在教学设计和实施中贯彻MM教育方式的理念，首先是要充分发挥名师的作用，推进区域性合作，发掘相应的课程资源，设计典型的教学案例，其次是在教学实践中不断加以调整、打磨和完善，力求做到精益求精，再次是加强课堂观察、研讨、总结和反思，将精品案例加以大力推广，以共享研究成果，从而形成共建、共研、共享的学术生态链，这是MM实验留给我们的精神财富和学术品格＼[4＼].

2.1利用MM实验原理解决教学困惑

由于教材文本的简洁性，一些数学核心概念产生的背景被略去，导致师生难以经历知识的发生过程，体悟探索问题运用的数学思想方法，利用MM实验原理，查阅相应的资料，设计简约的数学问题，可以化解师生教学中存在的困惑.

例如，在三角函数一章的起始课“任意角的概念”一节课中，广大师生一直存在这样的困惑，为什么要把角放置在直角坐标系中？为此笔者依据数学史，设计了这样的问题情境：在大海中，如何在地图上表示出东偏南60°且离港口100海里的船只？船只位置与地图上约定的“上北下南，左西右东”，在数学上如何加以体现和约定？于是通过数学史中17世纪航海的发展，催生平面直角坐标系的诞生，从而使数形有机结合，笔者引导学生将港口抽象为坐标原点，船只抽象为终边上的点，结合地理知识，让学生讨论角的顶点、始边分别怎样约定更符合习惯，而终边按逆时针方向旋转与坐标系的象限顺序保持一致，正好印证了角的正方向用逆时针方向约定是科学合理的，再结合判断角的象限，引申到终边相同角的概念，从而将数学抽象与坐标思想、数学建模与地理的空间定位、数学约定的科学性与融通性等，渗透到日常的教学中，对促进学生素养的提高起到润物细无声的作用.

2.2利用MM实验原理提升教学品质

数学教学品质是指数学教学对人影响的广泛程度、深刻程度、持久程度、有用程度. 数学教学品质由低到高分为四个层次：一是数学知识技能教学层次，重在解决是什么、怎样做的问题;二是数学思想方法层次，重在解决用怎样的思想与方法做的问题;三是数学思维教学层次，重在解决怎样想到这样做、为什么要这样做的问题;四是数学素养、精神和文化教学层次，重在促进学生心智、个性、观念、精神等和谐协调地发展. MM实验原理顺应了能力素养导向教学的要求，并成为有效的教学抓手，将数学教学品质的各个层次有机融合.

例如，在一次“解三角形”习题中，笔者根据教材（人教版必修第二册）54页20题关于已知三边长证明三角形的面积公式，选编了这样两道题目：（1）已知△ABC中，BC=3，CA=5，AB=7，求它的面积;（2）已知凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，AD=CD=2，问能否求它的面积？

第（1）问用余弦定理求得cosB=1114，故sinB=5314，代入面积公式S= 12acsinB=34，将问题一般化，学生经过因式分解，得出了南宋数学家秦九韶发现的求三角形面积的“三斜公式”和古希腊数学家海伦得到的三角形面积公式. 与三角形作类比，多数学生认为第（2）问能求解，但又找不到方法，也有学生估测该四边形不固定，面积求不出. 在评议中，教者用几何画板作演示，发现四边形面积的确不确定，那么面积是否有最大值呢？学生的思维开始活跃起来. 先把四边形ABCD划分成两个三角形后，得出S=sinA+3sinC ，再由余弦定理和公共边BD作等量关系，得出5-4cosA=13-12cosC，即cosA-3cosC=-2，由配对思想，两式平方相加，得S2+4=10-6cos（A+C），S=6-6cos（A+C），于是当A+C=π时，四边形ABCD的面积最大，最大值为23，即四边形ABCD内接于圆时，其面积最大. 能否推广到一般的情形呢？即四边长为定值的四边形中，是否以圆的内接四边形面积最大呢？于是将数据字母化，证明了猜想的正确性，并且面积的最大值与秦九韶、海伦公式从运算结构上有惊人的相似之处，即可看作是三角形面积在四边形中的推广.

通过这样引导学生从特殊到一般，不断拓展解题思路，最后得出了与大数学家相似的结论，学生仿佛经历了一次探索、创造和发现的过程，在这一过程中，学生的数学知识与技能得以巩固，数学思想方法得以有效的渗透，思维能力和数学素养得到发展，而教学设计的理念为MM实验原理.

3依托學校三级课程，弘扬MM教育方式

在MM教育方式的新八个操作变量中，数学探究、数学审美、数学文化、数学应用、数学项目教育，在培养学生关键能力和核心素养时最令人关注，但由于受应试观念的影响，许多教师在常态课堂中涉及较少，而地方课程、学校课程为这些领域提供了新的教学平台. 我校数学组高一自主研发了校本课程：数学探究、数学建模、数学审美及数学文化，高二则开设了STEM、数学研究性学习及数学项目学习课程，目前虽然尚处于尝试、探索阶段，但深受学生的欢迎和同行的关注.因为高中学生数学知识储备有限，大量以大学数学为背景的探究、建模、审美和史志等，学生难以领悟其要义，因此，教师必须探寻以高中数学为背景的相关课程资源，并结合学生的情况、教材的安排以及社会实际的现状，研发相应的校本课程.

以数学项目学习为例，笔者围绕无锡最著名的石拱桥——清明桥，开展了以下教学尝试. 在江南古典音乐的背景下，屏幕上出现了从不同背景、不同角度拍摄的清明桥照片，结合画面对该桥作简介：清明桥，始建于明朝万历年间，是无锡古运河上最著名的经典，它是单孔石拱桥，桥长43.2米，宽5.5米，高8.5米，桥孔13.1米. 围绕清明桥这一话题，老师先抛出以下两个与数学相关的问题，供同学们思考：

（1）从直觉来看，清明桥横截面的拱圈更接近圆弧，还是更接近抛物线弧？

（2）如何用数学的定量方法，来论证你的观点？

两个问题为同学们开展项目式学习打开了话题，不同的判断，依据不同的数学模型，首先分别建立坐标系、设点和求曲线方程等建立模型，其次通过图形整体缩放、等分寻高等获得相应数据，然后由几何画板得出各自模型的数据，最后通过对比分析得出结论. 在此基础上，引发学生通过相互交流，提出每一4人小组设计的问题，这里列举其中5个：

（1）清明桥横截面的拱圈可能更接近于一个离心率很小的椭圆（有待于计算确认）;

（2）以上两个模型中，如果河水上涨1米，桥拱圈的宽度将为多少？此时，若船在桥洞中间行驶过去，船浮出水面的高度有什么限制？

（3）清明桥为什么要设计成接近于圆（椭圆）的石拱桥？

（4）清明桥为什么会建造在此处？它对当时无锡的经济和生活有什么影响？

（5）清明桥的石材都是方直的，为什么我们看到的桥却是弯曲、弧形状的？

问题1是对教师提问的质疑，通过计算，用椭圆作为数学模型比圆的确更为精准，体现了当代学生的分析质疑能力及批判性思维. 问题2源于教材的例题、习题，并作了改造，但作为两个模型的对比分析，仍然有其研究价值. 问题3具有一定跨学科性，有的从便于水流交通的角度进行分析;有的从物理学圆周运动中重力与弹力的合力等于向心力，即mg-N=mv2r，N=mg-mv2r是关于r的增函数，拱圈越鼓对应圆半径越小，桥面承接的压力越小，从而在数理知识融合中形成了科学的解释;有的同学则从人文、美观和旅游的角度加以诠释. 对问题4，学生分别从河面相对较窄、人口流动多、交通枢纽、工商业发达、文化旅游等方面进行分析. 问题5的讨论同样出人意料，有的想起了刘徽的割圆术，用微元分析、极限的思想进行分析;有的从哲学的角度对直与曲、方与圆、微观与宏观、精确与误差等作了深入剖析;有的从中国古代传统文化的视野作了论述，真可谓教学相长，后生可畏. 可以预见，项目式学习在培养学生能力和素养方面，将越来越受到各界人士的关注，MM教育方式也必将重视其今后的发展.

MM教育方式经历了三十多年的风风雨雨，虽然取得了卓越的成果和良好的效果，但由于我们正处于世纪之交，各种教育理论和教学模式的呈现日新月异，因此MM教育方式的完善与创新、发扬与广大、实验性与示范性等都遇到了极大的挑战. 新课程理念的愿景是美好的，但数学核心素养如何在实践中落地生根，需要依托于成功的教學范式，MM教育方式作为数学教育的品牌，理应发挥其学术引领和实践示范的作用，以展示其独特的教育价值.

参考文献

[1]徐利治. 徐利治论数学方法学＼[M＼]. 济南：山东教育出版社，2001：13.

[2]徐沥泉. 教学·研究·发现——MM方式演绎＼[M＼]. 北京：科学出版社，2003：5979.

[3]杨世明，周春荔，徐沥泉等. MM教育方式：理论与实践＼[M＼]. 香港：香港新闻出版社，2002：132.

[4]华志远. MM教育方式的源与流＼[J＼]. 数学通报，2020（08）：3235.

作者简介华志远（1964—），男，江苏无锡人，现任无锡市第一中学副校长，中学正高级教师，特级教师，曾获苏步青数学教育奖;主要研究中学数学课程、教材、教法;发表论文100余篇，其中15篇被中国人民大学资料中心全文转载.