潘超 田原

【摘 要】知识的生长点即知识的发生点、固着点，是学科知识逻辑演化的根基和学生认知发展的基础。文章以牛献礼老师的课堂教学为例，从新旧知识、情境知识、抽象知识、交汇知识、困惑知识、重要知识几个方面对小学数学知识的生长点进行了研究。

【关键词】小学数学;知识生长;生长点;课堂教学

【作者简介】潘超，教授，硕士研究生导师，主要研究方向为小学数学教育与教师教育;田原，高级教师，主要研究方向为小学数学教育和教育管理。

美国教育家杜威认为，教育即生长，教育的目的就是生长，除此之外别无目的[1]。也就是说，教育要给学生的成长创造一切条件，顺应学生成长的规律。在数学课堂上，实现知识的生长，使得学生学习得以真正发生，是促进学生成长的重要方面。那么，实现知识生长的条件是什么？笔者认为，实现知识生长的首要条件是学生知识的未成熟或未完满状态，其符合学科、教育学、心理学、生理学等方面的原理和机制，能够满足学生成长的需要，同时具备作为知识客体需存在的根基和发展空间[2]。事实上，每一堂课的知识内容都存在知识生长的条件，但是课堂上有知识生长的条件并不意味着能很好地实现知识生长，还需要教师有很好的驾驭能力，能敏锐地捕捉和把握知识生长点。知识的生长点即知识的发生点、固着点，是学科知识逻辑演化的根基和学生认知发展的基础。它包括新旧知识的衔接点、情境知识的问题点、抽象知识的关键点、交汇知识的融通点、困惑知识的症结点、重要知识的衍生点等（如图1）。本文以牛献礼老师（以下简称牛老师）的课堂教学为例，对小学数学知识的生长点进行探究。

一、新旧知识的衔接点

一般来说，教学内容中的诸多知识点构成了知识模块，又由知识模块构成相对独立的知识体系，从而形成相互联系的知识网。知识网的建立有许多衔接点，这些衔接点往往具有较强的逻辑关联性，其中新旧知识的衔接点是重要的知识生长点。从知识生长角度来看，数学知识的学习过程本质上就是基于知识的生长点构建各知识节点的过程，是新旧知识衔接、更替的过程。因此，学生对于数学新知识的学习总是基于原有的旧知识和学生本身的数学现实。要实现知识网的构建，达成知识的生长，需要教师准确抓取新旧知识的衔接点。而要抓取新旧知识的衔接点最重要的是疏通知识逻辑，在知识逻辑中找到知识点的衔接纽带。比如，在牛老师执教的“三位数乘两位数”一课中，牛老师抓取新旧知识的衔接点让学生开展学习活动，使学生实现了知识的生长。

案例1 三位数乘两位数的运算[3]

师：今天我们一起来学习三位数乘两位数，在学习这个知识点之前，请同学们回忆一下，我们已经学过哪些笔算乘法？

生：三位数乘一位数和两位数乘两位数。

师：请大家分别计算114×2和14×23。

（学生进行计算、交流、反馈，如图2。）

师：14×23是怎么运算的？

生：因数23个位上的数3和十位上的数2依次乘因数14，得出第一层积为42，第二层积为28，两层积加起来是322（如图3）。

师：三位数乘一位数的计算方法是根据两位数乘两位数法则中的哪一句？

生：个位数依次去乘另一因数每一位上的数。

数学教师的任务之一是帮助学生构建数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实[4]。三位数乘一位数、两位数乘两位数就是学生的数学现实（已有旧知识），而三位数乘两位数则是学生要发展的数学现实（新知识）。牛老师从已有数学现实中找到旧知识与新知识之间的衔接点（两位数乘两位数法则），将新旧知识的联系在原理上进行剖析，搭建联系新旧知识的桥梁，从而实现新知识在原有知识结构上的生长。这既是弗赖登塔尔的数学现实理论的有效应用，也是奥苏贝尔的先行组织者理论的具体体现。

二、情境知识的问题点

知识的生长需要情境这个“土壤”，这是知识的情境化体现。一般来说，情境知识指蕴含着新知内容的情境。情境知识有明确的教学目标指向，富含知识的营养，其可以在合理的情境中得到发掘、提炼和发展。这个过程往往伴随着数学问题的发现、提出、分析和解决的过程，也是一个数学化的过程。要实现情境知识的生长，需要教师有敏锐的数学眼光，善于把握问题的焦点，引导学生思考，让学生在思考中实现知识的建构。

案例2 验证长方形的周长与面积的关系

如图4所示为北师大版数学教材三年级下册“面积”的一道练习题。该题有一定的现实价值和意义，主要反映长方形周长与面积的关系：当长、宽越接近时，面积越大;当长、宽相差越大时，面积越小;当长、宽相等（正方形）时，面积最大。教材上没有直接告诉学生这个规律，而是通过探究活动，让学生经历实验、辨析、比较、猜测、验证等过程，使学生发现其中蕴含的规律、结论，实现知识的生长。牛老师在教学中设计了一系列问题以实现学生的知識生长。以下是其中的教学片段。

师：（展示）这里有两根铁丝，长度分别为20厘米、24厘米，用它们分别围成不同的长方形。猜猜看，哪一根铁丝围成的长方形面积更大？

生：24厘米长的铁丝围成的长方形面积更大。

（其他学生也同意。）

师：为什么？

生：因为24厘米比20厘米长。

师：也就是说周长长的面积就大？

生：是的。

师：（质疑）这是真的吗？

生：不一定。

（面对质疑，许多学生的想法发生了动摇，并陷入沉思。）

师：想一想，可以用什么办法说明“周长长面积就大，周长短面积就小”的说法是否准确？

生：可以举例子来算一算。

师：好办法！数学上常用举例子、找反例的方法验证结论。如果能找到一个周长短、面积反而大的例子，说明上述说法是错误的。大家试着找一下。

（学生进行思考、尝试、交流。）

生：如图5，长方形的周长为（4+6）×2=20厘米，面积为4×6=24平方厘米;如图6，长方形的周长为（1+11）×2=24厘米，面积为1×11=11平方厘米。周长短的长方形面积反而更大。

师：真棒！由此可知，周长长的长方形面积不一定大。

教师在情境中引出问题，发动学生思考，引发猜想，激发了学生的求知欲望，让学生在复习长方形周长计算的基础上，体会举反例是验证结论的一种重要方法，为后续的学习奠定知识和方法的基础。学生在操作、思考、猜想、计算、表达的过程中，突破了情境本身的背景，逐步深入到问题本质，获得重要的知识。

三、抽象知识的关键点

小学数学中大多数知识都有生动、具体的生活背景，教师在引导学生学习的过程中能有意联系生活实际，就能让学生更轻松地学习，更能加深学生对新知识的理解。然而，也有部分知识具有一定的抽象性，相对而言与生活的联系性也比较弱，这样的知识教学起来更显困难。事实上，尽管是小学阶段，数学教学也不能一味追求生活化、具体化。教师在教学过程中对某些数学知识进行适度抽象有其必要性和必然性，这有利于锻炼学生的数学思维，让学生加深对数学知识本质的理解。而抽象知识的教学要经历由感性材料加工成概念、判断、推理等思维形式的抽象过程，一般包括分离、提纯和简略三个基本过程[5]。

案例3 “乘法分配律”的抽象过程

学生在学习了乘法结合律、乘法分配律之后，经常会因为知识之间相互干扰的原因，出现混淆现象。乘法分配律本身是比较抽象的知识，在教学中教师应注意从抽象知识中挖掘出学生能够理解的关键点，并“对症下药”才能使学生把握知识的要点。限于文章篇幅，本文仅介绍牛老师执教“乘法分配律”的主要课堂结构（如图7）。

首先，教师通过“求大长方形的面积”和“购买校服”的实例创设情境，让学生体验乘法分配律产生的背景，认识新学知识的合理性，在此基础上进行归纳概括，从情境中分离式子，抓住需要解决的问题的核心，让学生经历数学化的过程，即乘法分配律的分离过程。其次，教师通过引导学生观察、比较、猜想、验算、讨论等方式，让学生探究式子中存在的规律，从乘法意义角度理解“两式为什么相等”，初步得到结论。然后，教师进一步引导学生举例子进行拓展应用，一方面强化探究的规律，另一方面说明规律具有一般性，为后续符号化的过程奠定基础，即乘法分配律的提纯过程。最后，教师引导学生总结乘法分配律，并让学生用符号进行表达，使乘法分配律实现精致、固化，使学生深刻理解“分”“配”“律”的本质，这是本节课的升华，即乘法分配律的简略过程。整节课结构严谨、层层铺垫、循序渐进、说明充分，课堂上抽象知识的生长过程有其自然性，但需要教师挖掘抽象知识中的关键点。因此，教师在教学中要非常重视抽象知识的产生背景、逻辑验证、意义理解、拓展应用和模型建立。

四、交汇知识的融通点

小学数学各模块之间的知识点存在交汇现象，通过数学的内在逻辑使得知识点形成网络结构，这就是数学知识的条理化、系统化和网络化。小学数学的一些综合性问题本质上就是各知识点之间的交汇问题，或数学思想方法的复合问题。在对待交汇性较强的知识内容时，教师要引导学生独立思考，并让学生进行小组讨论、合作探究等，尤其要厘清交汇知识之间的逻辑结构，找准交汇知识的融通点，全方位调动学生学习的积极性，发展学生的数学思维。教师可以通过对概念、命题的梳理，把凌乱、细碎、分散的知识点结成知识链，形成知识网，实现局部及总体知识的结构化，使学生完善原有认知结构，达到深化理解所学知识。

案例4 各类图形面积公式之间的融通

长方形、平行四边形、三角形、梯形和圆的形状不同，面积计算公式也各异。它们之间有没有逻辑交汇呢？如果它们是交汇知识，那么它们之间的融通点是什么呢？

牛老师以梯形面积公式S=（a+b）h÷2为融通点，引导学生对公式进行分析。若b=0，则S=ah÷2，为三角形面积公式;若a=b，则S=ah，为平行四边形面积公式;若平行四边形有一个角为直角，则S=ab，为长方形面积公式;若三角形的底为2πr、高为r，则S=πr2，为圆的面积公式。

牛老师将各种图形和面积公式进行比较联系，找到它们之间的融通点，通过数学变式的方法将之融通起来，打通面积公式之间联系的“节点”，让学生认识到各个公式之间不是孤立的，而是彼此之间存在内在逻辑关联。

五、困惑知识的症结点

学生在数学学习过程中总会存在各种困惑知识，面向困惑知识，不同的学生会有不同的心理和对策。教师应找准不同学生困惑知识的症结点，因材施教，使这些困惑知识成为学生知识生长的契机，甚至成为学生发展的阶梯。教师可以通过正反例结合、数形结合、操作实验、辨析讨论等来分化困惑知识。本文以牛老师执教的“认识角”为例，分析如何利用正反例结合来分化困惑知识。

案例5 “认识角”的教学

“认识角”是北师大版数学教材二年级下册“认识图形”的第一节内容，其难点之一是判断一个平面图形是不是角，这也是学生的困惑知识，其症结点在于判断平面图形是角的标准是否明确。在学生初步感知角的基础上，教师可以向学生介绍角的形状、角的顶点、角的边等，让学生认识到角的组成部分和特点，确定判断角的标准，即顶点处两条边连在一起，并且边是直的。由于学生容易因多元化的交流信息而产生思维困惑，抓不住知识的核心，导致其体验停留在表层，思考的角度、广度、深度等得不到良好训练。因此，牛老师在分化这个难点时，采用举正反例的策略，让学生做练习：判断图8所示图形哪些是角，哪些不是。

学生经过思考、质疑、交流，了解到图8中（1）和（4）是角，（2）和（3）不是角，掌握了判断一个图形是不是角的方法。教师先用1个正例，帮助学生正面感知判断一个图形是不是角的相关要点，有利于学生知识与技能的扎实训练;再用2个反例，强化学生对不是角的图形的认识，巩固概念的外延;最后用1个正例，采用“较大的角”，并且图形的位置较之第一个正例有所变化，采用“非一般”“非正规”的平面图形，开展概念变式教学，既为学生进一步学习钝角建立感性认识，也有利于学生强化角的本质特点。牛老師紧紧抓住判断标准这一症结点，采用正反例结合来分化困惑知识，使学生逐步实现了知识建构。

六、重要知识的衍生点

数学知识的生长点源于数学知识体系中占有重要地位的知识点。在课堂教学中，教师要将重要知识作为学生知识生长的主干，可以通过创造情境，创设数学活动来激发学生的思维和问题意识，让学生从重要知识的主干中衍生出新知识的分支，以探求知识的扩展。在教学中，一般将这种衍生知识分支称为“教学附加值”，它虽然不是一节课的主体知识或重要知识，但也是思维训练和知识生长的范畴。重要知识的主干与衍生新知识的连接点即为衍生点。那么，如何利用重要知识的衍生点来实现知识的生长呢？通常情况下，教师可以让学生在认知冲突、实践操作、拓展应用、意外情境、趣味活动、奇思妙想中衍生知识。下面，以牛老师执教的“鸡兔同笼”为例，探讨如何引导学生实现知识衍生。

案例6 “鸡兔同笼”——在奇思妙想中实现知识衍生[6]

“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。题目为：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？教师在教学了列表法和假设法解决“鸡兔同笼”问题的基础上衍生了“抬脚法”。

师：古人解决“鸡兔同笼”问题用的是“抬脚法”，即“金鸡独立，兔子站起”的方法（如图9）。

师：抬脚后鸡兔落地的脚数为94÷2=47（只）。1只鸡对应一只脚，而1只兔对应2只脚，每多出1只脚就有1只兔。因此，兔只数：47-35=12（只）;鸡只数：35-12=23（只）。这种解法很奇妙，美国数学教育家波利亚很欣赏这种解法，他通过著作《数学的发现》把它介绍到了美国。其实，这里的鸡不仅仅是鸡，兔也不仅仅是兔，“鸡兔同笼”是这类问题的统称。生活中许多类似“鸡兔同笼”的问题，都可以用这样的方法去解决。

上述衍生的“抬脚法”不是本节课的主干知识，但它的思维方式具有独特性，能够启发学生在解決问题的过程中，不局限于常规的思维模式。这种“奇思妙想”能触动学生活跃的思维，拓宽学生的数学思维空间，使学生对所学知识有更深的领悟。

参考文献：

[1]约翰·杜威.民主主义与教育[M].王承绪，译.北京：人民教育出版社，2001.

[2]孟筱.回归教育的初心与起点：论杜威“教育即生长”理论内涵的当代启示[J].宁夏社会科学，2018（2）：130-135.

[3]牛献礼.我在小学教数学：素养导向的数学教学艺术[M].上海：华东师范大学出版社，2019.

[4]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]牛献礼.帮助学生学会思维：“乘法分配律”教学实践与思考[J].小学教学研究（教学版），2013（7）：36-38.

[6]牛献礼.沟通联系 突出思想：“鸡兔同笼”教学实践与思考[J].小学教学研究（教学版），2018（3）：45-48.

（责任编辑：罗小荧）