佛山市第一中学(528000) 刘振兴 程生根 陈 豪

比较对数大小的试题是高考中的常见题型,此类试题虽然题目简短但内涵丰富,不仅考察了对数函数的基本性质,还综合考察导数和不等式等知识.对于比较底数相同的对数大小,利用对数函数单调性即可.可对于比较底数和真数都不同的对数大小,学生有时感觉比较困难,究其原因是没有选择好合适的方法,本文归纳了比较底数和真数都不同的对数大小的八种方法,以期给读者启发.

方法一: 找中间量

找中间量法是比较大小经常使用的方法,一般先估算对数的范围,再找中间量,可很多时候考生找不到合适的中间量.找中间量需要一定的技巧和方法,先看下面例题.

例1比较下列各组数中两个值的大小.

(1)log53,log45; (2)log58,log67;

(3)log53,log96; (4)log34,log57.

解析(1)因为log53＜1,log45＞1.中间量取1 即可,所以log53＜log45.

(2)找中间量log68 或log57,因为log58＞log68＞log67,log58＞log57＞log67,所以log58＞log67.

(3)思路一: 考虑中间量log56 或log93,因为log53∈所以log56 和log93 都不能作为中间量.

(4)思路一: 考虑中间量log37 或log54.因为log34∈(1,2),log57∈(1,2).因为log37＞2,log54＜1,所以log37,log54 都不能作为中间量.

评注在用中间量法比较底数和真数都不同的对数大小时,先估算对数大小,看是否有公共区间,没有的就直接比较大小,如(1)中log53＜1,log45＞1,所以log53＜log45.

若有公共区间,依次按如下三个思路找中间量.必定可以找出合适的中间量值.

思路1.分别选取一个对数的的底数(真数)和另外一个对数的真数(底数)构造新对数,将其作为中间量.

思路2.估算两个对数的公共区间,取区间的中点(二分法)作为中间量.

思路3.估算两个对数的公共区间,多次取区间的中点(二分法)作为中间量.

方法二: 作差法

比较两数大小最基本的方法就是作差法.可对于比较底数和真数都不同的对数大小,很多时候作差法都无法使用,作差法只适应符合一定特征的对数.

例2比较log23 和log34 的大小.

解析因为 log23-log34 ==且lg 2·lg 4＜lg23,所以log23＞log34.

例1 中第(3)问我们也尝试一下用作差法解答,因为log53-log96 =我们发现lg 3·lg 9-lg 5·lg 6 无法判断正负号,所以不能用作差法解答.

评注根据上面解答过程易知,对于比较底数和真数形如logab和logbc的两对数,即一个对数的真数就是另外一个对数的底数,可以考虑用作差法.且有如下结论:

(1)若a,b,c ∈(1,+∞)且b2＞ac,则logab ＞logbc.

(2)若a,b,c ∈(0,1)且b2＜ac,则logab ＞logbc.

下证明结论(1),同理可以证明结论(2).

所以logab ＞logbc.

例3(2020年新高考山东卷第8 题)若a ＞b ＞c ＞1 且ac ＜b2,则( )

A.logab ＞logbc ＞logcaB.logcb ＞logba ＞logac

C.logbc ＞logab ＞logcaD.logba ＞logcb ＞logac

解析根据结论(1)知logab ＞logbc即logcb ＞logba,所以C,D 不正确.又因为logca ＞1＞logbc,logba ＞1＞logac,所以A 错,B 正确.

方法三: 作商法

作商法和作差法本质上是同一个方法,例3 中比较logcb和logba大小,用作商法解答如下.

解析因为且1＜lga·lgc ＜＜lg2b,所以logcb ＞logba.

方法四: 利用糖水不等式放缩

糖水不等式若a ＞b ＞0,m ＞0,则有或

简单的解释a克的不饱和糖水中含有b克糖,则溶液的浓度为∈(0,1),若往糖水里加入m克糖,经验告诉我们糖水会更甜,即另外它的一个对偶结论也成立,证明如下:

例2 用糖水不等式放缩法解答,过程如下.

换成同底因为log23 =log34.5＞log34,所以log23＞log34.换成同真数,因为所以log23＞log34.

例1 中第(3)问也可以用糖水不等式放缩法解答,过程如下:

换成同真数log53 =log106＜log96,所以log53＜log96.

换成同真数log53 =＜log96,所以log53＜log96.

评注对于两对数的底数和真数形如logab和loga+m(b+n)的形式,可以考虑利用换底公式和糖水不等式放缩,放缩成底数或真数相同的对数,再比较大小.

方法五: 等价转换法

利用对数的基本性质,先对对数进行等价转化,再比较大小.

例4比较log318 和log424 的大小.

解析由对数的性质,可知log318=1+log36,log424=1+log46.因为log36＞log46,所以log318＞log424.

例1 中第(3)问也可以用等价转换法解答,过程如下.

解析因为log96 =比较log53,log96⇔比较2log53,log36⇔比较log59,log36⇔比较1+log51.8,1+log32⇔比较log51.8,log32.因为log51.8＜log31.8＜log32,所以log53＜log96.

评注对于比较底数或真数比较大的对数大小时,可以考虑是利用对数的性质等价转化,转化到底数和真数都比较小时,再利用中间量法比较大小.

方法六: 构造函数法

此类试题需要根据所给对数式的特征构造恰当的函数,进而分析函数的单调性,结合函数的单调性求解.例2 用构造函数法解答如下.

解析令f(x)= logx(x+ 1)=(x≥2),则f′(x)=＜0,所 以f(x)在[2,+∞)上单调递减.所以f(2)＞f(3),即log23＞log34.

方法七: 估值法

使用估值法时,首先要熟记常见的对数值lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771,ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,对于例1 第(3)比较log53 和log96 的大小,可以用估值法,解答如下.

因为

所以log53＜log96.

评注建议记住lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771,ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,记忆力好的同学,也可以记住ln 5≈1.6094 的近似值,在比较对数大小时,若对数的底数和真数可以化为lg 2,ln 2,lg 3,ln 3 和ln 5 时,可以考虑估值法解答.

方法八: 取特殊值法

比较对数大小时,若对于底数真数以自变量形式出现,且自变量满足一定条件时,可以考虑用特殊值法.例3 可以用取特殊值法,解答如下.

解析取a= 16,b= 8,c= 2,满足a ＞b ＞c ＞1且ac ＜ b2,则logca ＞1＞logab,所以A,C 错误;logcb=3＞logba=所以D 错;B 对,所以选B.

为了更熟练本文的方法内容,下面提供2 道高考真题,供有兴趣的同学练习.

练习1(2020年高考全国Ⅲ卷第12 题)已知54＜84,134＜85.设a= log53,b= log85,c= log138,则( )(答案: A.)

A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b

练习2( 2013年高考全国Ⅱ卷第8 题)设a= log36,b=log510,c=log714,则( )(答案: D.)

A.c ＞b ＞aB.b ＞c ＞aC.a ＞c ＞bD.a ＞b ＞c

不难看出,两个对数比较大小的试题,集对数函数,导数,不等式等众多知识点于一体,综合性强,能够较好地检测考生是否掌握了基本知识,基本方法,基本技能.能够体现出对数学核心素养的考查,因而受到命题者的青睐.在解比较对数大小的试题过程中,最基本的作法是作差或作商.在复习备考时,要及时总结和反思,灵活根据题目条件选择恰当的方法,提高解题效率.