摘要：基于核心素养导向的数学建模教学强调“情境”与“知识”应服务于“现实问题”的提出与解决。在数学建模教学中创设现实情境，采取问题解决学习，引导学生在应用数学理论性知识解决真实问题的过程中，通过自主学习、合作探究习得程序性知识和过程性知识，培养对数学建模过程的整体认识，协调发展数学核心素养。

关键词：问题解决学习  数学建模教学  核心素养

引用格式：侯宝坤.问题解决学习在数学建模教学中的实践[J].教学与管理，2022（01）：45-47.

问题解决学习（problem-based learning，PBL）旨在解决教学与学生面临的真实情境和复杂问题相脱节的问题[1]。PBL着意于用现实环境下真实的、有意义的问题，培养学习者学会寻找隐藏于情境中的问题，学到问题背后所涉及的知识、方法，收获问题解决的策略和学科思想，获得用学科方法解决问题的能力。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提倡将数学问题置于一定的真实情境中，特别是数学建模核心素养的提出和数学建模教学的开展，已将学生数学知识的学习过程发展为问题解决过程，使数学学习成为个人研究、同伴协同、集体创新的过程，同时也成为学生评判性思维、创新思维不断成长的过程[2]。在数学建模教学中实施PBL模式，从问题的情境设置，问题的发现、提出、解决到解决后的反思、拓展，都能有效落实数学核心素养的综合培养。学生不仅要掌握陈述性知识，更需要程序性知识和过程性知识主动参与，既要清楚“要什么知识”，更要清楚知识“从哪里想起”“怎么想”“为什么这么想”“如何修改”等[3]。

一、数学建模教学目标的确定

数学建模问题情境来自真实生活，需要依据现实呈现的现象进行数学原理探析，建立数学模型分析、解决实际问题，并评价建模方案，根据现实环境的变化解释各变量的功能，或者修正模型。数学建模教学通常需要呈现问题发现、提出、分析、解决的全过程，问题中通常存在多个相互关联的变量，分别连接真实问题的各种控制要素，也反映模型的不同变化视角。数学建模学习的每个过程都承担着各自的学习目标和能力培养任务，教学中應当依据各个角度的任务特征设计相应的学习目标与评价重点，在建模的过程中引导学生学习如何解决现实问题（见表1）。

二、教学问题的设置

PBL中的问题是触动学生学习的击发点，是学习活动的脉络。问题设置要有利于不同层次学生的参与，要有较为明确的指向，能引领学生思考。建模教学中教师要充分利用真实问题情境，用启发性语言、发散性提问引导学生自主发现问题。如用“遇到突然下雨，怎样做才能减少淋雨”激起学生对这个熟悉问题的重新关注，引发学生的探究兴趣。再针对问题设计实验，收集数据，做出有依据的数学假设，建立模型对现象与结果用数学的手段进行比较、分析、推理和解释。如此就会在数学建模过程中开启一系列的问题解决学习。教师可以依据建模的一般流程设计主问题线和相应的子问题群（如图1），其中每个主问题的解决对应一个建模阶段，每个主问题下有一个问题群细化主问题的方向。

三、以问题链展开的教学实践

在数学建模教学实施中，需要结合问题情境、内容对每个阶段的问题群进一步细化操作，通过问题链的形式逐步展开教学活动。以问题链驱动学生深度学习、深入思考、主动探究，逐步完成建模与解模，在学习的过程中体验数学建模的基本思维方式。下面结合沪教版必修4的“雨中行”案例，梗概地展现问题链推进建模教学的流程[4]。

1.问题的发现

人对事物的感知通常是从表象开始的，表现明显的现象最先为人们所关注、认识，不明显的现象往往不易被人们发现，需要从细节、微观因素上去追问，才能引起大家的共鸣。

教学中教师引导学生按照“情境-现象-功能”的思维线路发现和提出问题，教师以问题链引导，逐步铺开教学。首先以具有较强的开放性、作答视角丰富的“起点问题”，如“情境中正在发生什么事？你有哪些细节性发现？”引起关注，触发学生思考。然后再以“这样做的目的是什么？淋雨多少跟哪些因素有关？”等“聚拢性问题”对学生的发散式回答做总结，逐步突出问题的关键特征——淋雨量及其主要影响因素。根据学生的回答程度还需要做相应的追问：“还有哪些现象、要素？”“你是怎么得到结论的？”如此来引导学生多视角分析问题情境，搭建思维框架，由表及里深入思考现象产生的内部原因，培养学生分析问题的能力，为自主建模打下坚实基础。

2.核心概念及影响要素的定性分析

学生对问题有了初步认识，对现象进行适当聚拢之后，教师继续以“提炼性问题”，如“淋雨程度可以用什么量来表达？它与什么要素有关，影响如何？”将学生的前期聚拢对象进行提炼、深化，提出有关全局的核心概念或问题，并定性建立要素与概念、问题的依赖关系，为后续精确的数学描绘做好准备;以“哪些是变化的量，哪些是不变的量？”的“具象化问题”突出要素的具体功能，加强要素与核心概念的关联，以及变量、常量的识别，为精确的数量关系做好铺垫。为了便于发现核心概念，抓住各要素的功能，可以通过表格的方式将现象及其效果外显化，以便建立可靠猜想，形成准确模型（见表2）。

从多个宏观现象到对应微观因素，思维跳跃较大，学生可能出现“不会找、找不全”的情况，须从简单问题入手，发动学生讨论探究，在争论中统一思想、深刻认识，通过问题链的连贯发展、纵深推进，促进学生思维在发散中聚拢，提出能反映实际问题本质特征的核心概念或问题，发展学生善于归纳、敢于猜想、精于推理、适度抽象的数学核心素养。为了提高学生提出问题的能力，有必要总结出行之有效的流程图（如图2）。先从情境各种现象寻找关联点，提取共同关注的目标，从而提炼、界定出需要研究的问题，然后根据问题确定其主要表征对象，最后再结合现象关联确定研究对象的各个要素成分，对实际问题形成整体化的综合认知，完成问题的提出。

3.定量数学模型的建立與解决

实际问题的复杂性体现在多变量的动态变化上，怎样建立适当的数学模型是教学难点。首先对各要素符号化来体现一般性和数学特征，再根据前期分析的各要素的效果，以“关系化问题”，如“你能求出受雨面积、单位时间淋雨量，进而得到总淋雨量吗？”引领学生分析核心概念的数量特征，得出相应的数学表达式。以“反思性问题”，如“跑得快，淋雨量就一定少吗？”和“敏感性分析问题”，如“对T的影响的效果谁更明显？”加深学生对各要素的功能的数学化分析，体会控制变量研究多变量问题的基本思路。对于纯数学难以模拟或解决的建模问题，可以通过实验采集数据进行必要的智能计算模拟，并对猜测做相应的回归分析、信度检测等提高模型的可信度。

教师可以借助图示显化分析的思维模型和操作程序，帮助学生完成数学模型的建立与解决。图3是以核心概念、问题为中心的思维模型，先依据实际情境中各种现象的表现，讨论、预测各要素及其影响的可能性，再借助实验、数据、理论分析提炼出关联广泛的核心概念或问题，最后针对待解决的实际问题选取分析角度，讨论、研究核心概念或问题。图4则更清晰地呈现了实际问题中模型建立与研究的操作程序。

4.模型的预测与改进

数学建模以解决实际问题为目标，突出数学知识的应用性。建立模型经常需要猜测、估计、剔除次要因素、模型简化等过程，这些过程的积累都有可能影响模型的精确度。可以用“应用性问题”，如“根据淋雨量公式，你能举例分析一个‘雨中行’问题吗？”来检验模型的准确性，发挥模型对同类问题的预测作用。有时被理想化的次要因素（如风速）当情境变化后功能会凸显，这时以“拓展性问题”，如“在风雨交加时刻，你能对风速、风向对总淋雨量的影响做出分析吗？”促进学生对原模型进行新的诠释或做必要的修正。还可以用“挑战性问题”，如“如何打伞可以使总淋雨量最小？”增加影响要素，发散学生的思维。

问题解决学习模式的建模教学，将知识、问题、数学核心素养紧密联系起来，通过有梯度的问题群、问题链围绕主问题系统性地展开教学，实现数学核心素养的综合培育（如图5）。

学生作为建模行动的主动者，在问题提出、获取模型阶段更多地发挥程序性知识的认知策略，主动完成新知识的建构;在解模的过程中，更多地依赖所掌握的陈述性知识和智慧技能完成模型的数学探究;对模型的评价、拓展则主要依赖元认知的主动监控自觉实现。在整个建模活动中，不断伴随个人的知识体验、思想领悟等过程性知识，它们是学会自主建模的关键知识，三种知识交织应用，推动了建模的顺利发展。学生在问题解决中经历了知识的发散、聚拢、批判、创新等思维活动，形成数学建模观念，体验探究过程。经历多角度发现、提出、分析及解决问题的过程，有助于学生形成多维、扩散的知识结构。在问题解决学习中有效落实“问题驱动教学”“问题发展思维”“问题拓展知识”，推进核心素养的有效培育。

参考文献

[1] Barrow.Problem-based learning in medicine and beyond：A brief overview[J].New Directions for Teaching and Learning，1996（68）：3-11.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：5-6.

[3] 喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2015：60-68.

[4] 李大潜，王建磐.普通高中教科书数学必修第四册[M].上海：上海教育出版社，2020：20-25.