蔡雄壮 (福建省晋江市安海中学 362261)

“三点共线”问题是近几年福建中考的热点，在2019年福建中考第25题和2020年福建中考第23题都出现“三点共线”的证明.另外，2020年晋江市八下期末考第25题和2020年春德化县八下期末卷第25题也出现“三点共线”的证明.接下来，首先来看一下2020年福建中考第23题.

1 原题呈现，考情分析

如图1，C为线段AB外一点.

图1

(1)求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD=2AB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上.

笔者曾将该题作为月考卷试题，从学生答题情况来看，有些学生做得不错，方法如下：如图2，连结NP，并延长与AB交于点M′，然后证点M′与点M重合，运用“同一法”证明点N，P，M三点共线.这一部分学生应该是从教师上课时，运用“同一法”证三角形三条边上的中线交于同一点得到启发，掌握了相应的数学思想方法.但从整体来看，学生做得并不理想，不少学生直接用相似三角线的预备定理证△CPN∽△APM，相当于默认了M,P,N共线，但这是题目要证明的结论.还有相当一大部分学生无从下手，没有头绪，对证“三点共线”的方法还比较陌生.本文归纳了几种证“三点共线”的方法及类型，与读者一起探讨.

图2

2 归纳方法，解析案例

通过研究近年来一些有关证明“三点共线”的题目，笔者归纳出了几种常见的方法：(1)运用平角的定义(简称平角法)；(2)运用基本事实，比如：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”(简称基本事实法)；……