吴 江 (浙江省杭州市交通职业高级中学 310011)

本文对2021年浙江省高中数学竞赛的解析几何题进行分析，探究不同的解法，挖掘其背后的模型，得到若干结论．

1 试题呈现

(1)求CA+CB的最大值；

(2)若直线y=kx+1与x轴、y轴分别交于点M,N，且以MN为直径的圆与线段MN的垂直平分线的交点在椭圆内部(包括在边界上)，求实数k的取值范围．

分析 第(1)题结合椭圆的第二定义，联立方程，运用韦达定理，用k表示出CA，CB，最后求最值.思路明确，难度不大．

第(2)题求范围，不等式是常用代数方法，显然不等式来源于交点在椭圆内部，因此解决交点是关键一步.最容易想到的是联立方程求交点，那么就要先用k表示出圆和中垂线的方程，过程和方向明确．此外，两个交点可以看作是由点N绕圆心旋转得到，因此可以由旋转关系得到交点坐标，再结合椭圆方程建立不等式．另一方面，容易看出点N是定点，点M在x轴上的位置决定了交点位置，所以可以分析图形的变化规律，把握交点在椭圆边界上时的临界状态，求出此时k的值，进而确定k的取值范围．

2 解法探究

评析联立方程求出交点，其中涉及化简、因式分解等过程，对学生的运算能力提出了一定要求，包括最后解不等式，代数运算贯穿整个过程，主要思路为“见招拆招”，这也是解析几何思想的体现．

即得(*).下同解法1．

评析运用复数三角表示是处理旋转问题的一种方法，前提是要理解复数乘法的几何意义：对于复数z=x+yi，复数z(cosθ+i sinθ)表示在复平面上将复数z绕原点逆时针旋转θ角后得到的复数．