张 淦 (浙江省新昌中学 312500)

之前笔者参与了浙江省“9+1”高二联考命题工作,命制了一道直线与椭圆的问题,结果学生的解答情况很不好.今年,一次高二校考中使用了这个题目.尽管考试的对象变了,但测试的结果还是不理想.解答正确的学生寥寥无几,绝大多数学生虽然思路正确,但普遍不能将解题过程进行到底.这说明学生对平面解析几何的本质认识不到位，对解析几何中算法的设计、选择、优化能力偏弱.为此,我们针对此题进行了专题教学,通过不同解题策略的探寻、实施、反思和比较，让学生体会平面解析几何的基本内涵——倾向用代数的方法研究几何问题[1]，在问题解决的过程中,根据几何问题和图形的特征,探索解决问题的思路,用恰当的代数方法“解析”几何的问题.

1 问题再现

图1

(1)略；

(2)设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1=λk2,求实数λ的取值范围.

2 解法探究

联立直线l和椭圆C的方程,得到k的取值范围.假设A,B两点的坐标,利用两点之间的斜率公式得到k1,k2的表达式,最终建立起λ与k之间的代数关系式.

从解答过程来看,很多学生也是化简到此,无法再继续下去.究其原因,是式中的x1与x2不具有对称性,无法直接使用韦达定理.因此①式的处理是整个问题的关键所在.

策略1 千淘万漉虽辛苦,吹尽狂沙始到金——“直接法”

点评 我们在解题时,要理清题目的条件和需要解决的问题,明确问题和条件之间的联系,看透问题的本质，克服“怕运算”的心理障碍,不妨将自然的解题……