李织兰　蒋晓云　王发军

【摘 要】本文以北师大版高中数学选修3-1《数学史选讲》第六章名题赏析“哥德巴赫猜想”一课为例，从数学文化的视角引领学生去品味“哥德巴赫猜想”的数学思想、数学精神，设计基于云班课理念线上线下混合式教学的流程“布置学习任务—课前自主学习—课中内化感悟—课后学以致用”，从而对学生进行品德教养、思维提升、精神培养和性情陶冶，为学生建构数学史观、文化观、思想观。

【关键词】数学文化 哥德巴赫猜想 课例 致善精神

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）22-0092-04

全国高校思想政治工作会议指出：“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面。”党的十九大报告指出，要全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。在此背景下，学校应在发挥思政课作为德育主阵地和主渠道作用的同时，让所有课堂都肩负起育人功能，让每位教师都守好一段渠、种好责任田，切实将“思政课程”向“课程思政”转变。

数学教学不仅要传授给学生数学知识，还要授数给学生传学思维与方法，形成思维品质和关键能力，更重要的是在数学知识体系中寻找与德育知识体系的“触点”，用学生喜闻乐见的方式潜移默化地开展德育，在数学课堂上不懈追求“求真、育美、立德、致善”的理想境界，让学生在现实与历史的坐标中更真切地建构数学，形成自己的数学科学精神。本文从数学文化的视角引领学生品味“哥德巴赫猜想”的数学思想、数学精神，以“文”教“化”，对学生进行品德教养、思维提升、精神培养和性情陶冶，为学生建构数学史观、文化观、思想观。

一、教材与教学资源分析

“哥德巴赫猜想”是北师大版高中数学选修3-1《数学史选讲》第六章名题赏析的一节数学文化课，名题赏析“哥德巴赫猜想”包含数学猜想、思想方法、数学精神等三个方面。如果只按教材文本来品读，就会流于“浅显”和“知性”。重視其对人类精神方面的巨大作用，培养科学精神是中小学数学课堂的灵魂。“哥德巴赫猜想”蕴含着丰富的教育价值与文化价值。

国家级教学资源库在线开放课程提供了学习和数据支持。组建云班课，把教材内容与线上数字化资源集中在一起呈现，线上资源通过手机随扫随学，有效地辅助了线上线下混合式教学。教师通过手机APP“智慧云课堂”，可以实时掌握学生的动态，也可以与学生开展丰富多彩的课堂活动;学生可以通过APP学习课件、提交作业和考试等，完成一系列课程要求。这样既能发挥教师引导、启发、监控教学过程的主导作用，又能充分体现学生作为学习主体的主动性、积极性与创造性，从而真正地达到翻转课堂的目的。

生成性资源是在教学活动互动过程、自主学习和课后反思提升阶段中产生，最具个性化和最具活力的资源。生成性资源主要是学生的学习成果：学生收集整理的与“哥德巴赫猜想”有关的资料、数学文化实践活动（数学和数学家的故事演讲）、数学阅读报告、学习成果展板等。

二、学情分析

现今的中学生生活在电视屏、电脑屏、手机屏、iPad屏等“四屏”时代，在互联网的环境里长大，被称为“网生代”。他们获取知识渠道多样化，个人比较有主见且自我，敢于表达个性，这使他们不满足于线下被动接受教师传授知识，更爱线上主动搜寻自己感兴趣的知识。在这样的背景下，如果所有教学目标单纯依靠线下课堂由传统授课来实现，效果会大打折扣。

基于对学情的分析，笔者采用基于“智慧云班课”的线上线下混合式教学，把线下班级授课制群体学习优势与网络学习个性化、信息技术与教育教学融为一体，先学后教，“学”在课前，“悟”在课堂。

三、教学目标设计

第一，经历“哥德巴赫猜想”的发现过程，理解“哥德巴赫猜想”的具体内容，感悟从特殊到一般的归纳推理思想，学会用“观察归纳”找数学规律。

第二，理解探索“哥德巴赫猜想”的意义，感悟数学思想和方法。明白为什么“哥德巴赫猜想”被誉为“皇冠上的明珠”备受推崇。

第三，沿着数学家探索“哥德巴赫猜想”的历史足迹，培养“理性探索”和“严谨求真”的数学精神;体会“基础数学研究不能急功近利”和“要成为科技强国，必先成数学强国”的道理。

第四，介绍新中国著名数学家华罗庚、王元、陈景润等在探索“哥德巴赫猜想”中取得享誉世界的成就。弘扬中国数学的辉煌成就，增强民族自豪感和爱国主义情感。

第五，陈景润醉心科学探索、执着追求真理，在逆境中忘我钻研，勇攀科学高峰。他的奋斗精神和爱国情怀成为改革开放初期鼓舞人们的精神动力，当今仍在激励新一代青年发愤图强、艰苦攻坚，科学报国。

重点：发现和证明“哥德巴赫猜想”的数学思想和方法;培养“理性探索”和“严谨求真”的数学科学精神;陈景润精神激励新一代青年发愤图强，勇攀科学高峰。

难点：感悟数学思想和方法，理解探索“哥德巴赫猜想”的意义与价值。

四、教学设计及实施

基于云班课理念线上线下混合式教学的整体流程如下：布置学习任务、课前自主学习、课中内化感悟、课后学以致用。

（一）课前自主学习

1.课前制作《哥德巴赫猜想起源》《哥德巴赫猜想的证明进程》等微课、微视频，编辑《哥德巴赫猜与陈景润》《研究哥德巴赫猜的价值》等文本资料，根据本节课内容编制课前、课后习题上传至云班课空间。

微课《哥德巴赫猜想起源》：作品全原创，由任课教师自行设计，运用万彩动画大师、视频编辑软件等工具录制和剪辑而成。作品内容完整，在几分钟内对“哥德巴赫猜想”有序组织文化解读，微课围绕“哥德巴赫猜想”这一个知识点讲解如下内容：哥德巴赫猜想“1+1”是什么意思？哥德巴赫是用什么思想方法发现“猜想”的？“哥德巴赫猜想”难在哪里？中国数学家在探索“哥德巴赫猜想”的过程中取得哪些辉煌成就？形成哪些精神财富？

微课《哥德巴赫猜想的证明进程》：以PPT+录屏的形式制作，介绍数学家“迂围战术”，先易后难，缩小“包围圈”逼近目标。

本微课的亮点概括为：有意义、有启发、有趣味、有原创。形成三大特色：一是巧妙融入课程思政，培养“严谨求真”的数学科学精神和潜心钻研的精神;弘扬中国数学家的辉煌成就，增强民族自豪感和爱国主义情怀，体现数学学科独特的育人价值。二是教学策略情境化、结构化、问题化、故事化、任务化、趣味化，提高教学质量。三是教学素材体现科学性、艺术性、技术性、原创性。

微课是“线上线下混合式翻转课堂”中课前自主学习的最重要的教学资源，实现了以学生为主体，让学生自主学习，从传统上以教师讲授转变为学生自主学习，调动了学生的学习积极性。学生课前通过观看微课，完成课前自主学习任务，带着强大的内驱力来课堂展示、分享他们的学习成果。在线下课堂教学中感受“哥德巴赫猜想”的文化价值，为提炼数学科学精神等提供了有力的学习支持。

2.布置课前作业，检测学生课前学习知识的情况。课前学习检测作业见云课堂上的《哥德巴赫猜想导学案》。

3.在云班课发布：如何看待‘哥德巴赫猜想的教育价值和文化价值？

（1）哥德巴赫猜想“1+1”是什么意思？

（2）哥德巴赫是用什么思想方法发现“猜想”的？

（3）数学家与其他科学家探索规律有什么异同？“哥德巴赫猜想”难在哪里？数学的科学精神是什么？

（4）“哥德巴赫猜想”的证明进程给人们什么启示？研究“哥德巴赫猜想”是否有价值？

（5）中国数学家华罗庚、潘承洞、王元、陈景润等在探索“哥德巴赫猜想”的过程中取得了哪些举世瞩目的成就？

（6）激励学生发愤图强、艰苦攻坚的陈景润精神是什么？

要求学生课前针对上述问题发言，互相评价和讨论。学生课前通过线上观看微课，完成课前自主学习任务，带着强大的内驱力来课堂展示、分享他们的学习成果。为线下课堂教学中感受“哥德巴赫猜想”的文化价值和数学科学精神等提供了有力的学习支持。

课前组织“讲数学家的故事和演讲”实践活动。实施方案见云课堂《哥德巴赫猜想实践活动》。

（二）课中内化感悟

1.实施一：汇报群组形成的观点

学生个人在云课堂上发言，群组讨论并初步形成本群组观点，各群组代表汇报。

2.实施二：点评空间讨论

（1）哥德巴赫是用什么思想方法发现“猜想”的？

观察等式：10=3+7，28=11+17，12=7+5，100=3+97，18=7+11，36=7+29……你能从中发现什么“规律”？如何表达？

早在270多年前，一位业余数学家哥德巴赫凭借着对数学敏锐的洞察力，从这些等式中归纳发现了这一规律，因此人们就把这一规律称作“哥德巴赫猜想”，它还被高斯誉为“数学皇冠上的明珠”。

马克思主义哲学观点：事物的普遍性往往寓于事物的特殊性之中。发现“哥德巴赫猜想”的数学思想方法是从特殊到一般的归纳思想，人们在数学学习的“找规律”活动中经常使用，其一般形式如图1所示。

著名数学家欧拉告诉人们一个秘诀：数学结论是靠观察得来的。观察归纳是找规律常用的方法。

猜想是数学创新教育的三大核心环节之一，牛顿告诉人们：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。不学会找规律，就不会有数学的发现。因此，教师要鼓励学生学会找规律，培养学生的创新精神。

（2）探究“哥德巴赫猜想”难在哪？

观察归纳得到的结论只能算是一个猜想，可能是正确的，也可能是错误的。数学结论的真理性必须经受极为严格的逻辑和实践的双重检验。只有数学证明才能使它成为定理。因此，教师要在数学探究活动中增强逻辑推理的意识，养成良好的“说理”习惯，发展理性思维，铸就“求真”精神。

哥德巴赫还要做两件事：进行严密的推理论证，证明猜想是真理;或者在验证的过程中，找到一个猜想不成立的反例，从而推翻它。几经努力，他没有成功。他觉得很困难，于是给世界上最著名的数学家欧拉写信求助。欧拉在回信中说：“我相信这个猜想是真的，但我也无法证明它。”欧拉都没有辦法证明，他可是伟大的数学家之一。这一回应立刻引起了各国数学家的注意。此后，数学家们争先恐后地研究这一猜想。

270多年过去了，找不到一个“哥德巴赫猜想”不成立的反例。许多数学家又企图给这个猜想作出证明，很长一段时间数学家在研究过程中都没有取得实质性的结果，甚至没有提出有效的研究方法。于是，证明“哥德巴赫猜想”成为世界上著名的难题（见图2）。

图2  寻找“哥德巴赫猜想”不成立的反例

人们从数学家身上看到了“理性探索”“严谨求真”的数学科学精神。数学结论的真理性必须经受极为严格的逻辑和实践的双重检验。只有数学证明才能使它成为定理（真理）。在数学探究活动中，教师要培养学生养成良好的“说理”习惯，发展理性思维，铸就“追求真理”的精神。

（3）证明“哥德巴赫猜想”的历史足迹。

就在一些著名数学家悲观地称“哥德巴赫猜想”是可望而不可及的高峰时，1900年希尔伯特将“哥德巴赫猜想”列入20世纪23个挑战性的数学问题，从此世界数学家们联手进攻“哥德巴赫猜想”堡垒。从1920年开始，“哥德巴赫猜想”的研究终于出现了转机，从以下几个方面取得了进展。

第一，1918年英国数学家哈代创立了圆法，找到一条可能通往“哥德巴赫猜想”的道路。1959年，25岁的中国数学家潘承洞研究了“有一个小质变数的三质数”定理，从而走在这条路的最前沿。

第二，研究“例外集合”也许是通往“哥德巴赫猜想”的又一路径。在这一条道路上，1938年，同时出现了四个定理，其中之一是我国数学家华罗庚证明的“例外偶数的密度是零”，即“几乎所有偶数都是两个质数之和”的著名定理，其成果与世界齐名。

第三，布朗在1920年改进古老的筛法，提出了殆质数的概念，找到一条最有可能通往“哥德巴赫猜想”光辉顶点的大路。

把一个大于2的偶数E写成E=p+q（两个质数p和q相加）很有困难，数学家们想到了“迂围战术”，他们把条件放宽一点，先证明简单点的，那就用另一个办法表示成简单一点的：E=A+B，其中A和B是质因子个数不多的正整数，有点像质数，把A，B这样的数称为殆质数。

例如，大的偶数E=A+B，其中A和B为殆质数，且A的质因子个数不超过2，B的质因子个数不超过3，用“2+3”来表示。

一般的，每个大偶数E都可表为殆质数的和：E=A+B，其中A和B的质因子个数分别不超过m和n，用“m+n”来表示。显然，哥德巴赫猜想就是“1+1”。

数学家们就试图采用缩小包围圈的办法，布朗在1920年证明了“9+9”，各个国家的数学家都在“筛法”这条大路上行走，想逐步减少偶数分解式中殆质数里所含质因子的个数，直到最后使分解式每个殆质数里都是一个质因数，即“1+1”为止，试图以此方法来证明“哥德巴赫猜想”。

1920年，挪威的布朗（Brun）证明了“9+9”。

1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”“4+9”“3+15”和“2+366”。

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。

1948年，匈牙利的瑞尼（Renyi）证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了“3+4”。

1957年，中国的王元证明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，接着中国的王元证明了“1+4”。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫及意大利的朋比利证明了“1+3”。

陈景润把“筛法”这个数学工具发挥到极致，陈景润在1966年至1973年，经过多年废寝忘食、呕心沥血的研究，证明了“1+2”。目前为止，陈景润证明的“1+2”依然领先于世界，因此陈景润被称为“哥德巴赫猜想”第一人。

华罗庚、王元、潘承洞、陈景润等中国数学家因其在探索“哥德巴赫猜想”方面的辉煌成就享誉世界，反映了新中国数学家的钻研精神和聪明才智，是中国数学的骄傲，鼓舞着我国数学人为建立一流的世界级数学强国而奋斗。

“哥德巴赫猜想”证明历程给人们以下几点启示。

其一，“迂围战术”解难题。在学习和研究数学中，如果遇到一个问题解决非常困难时，可采取“迂围战术”，先解决一个相对简单点的问题，逐步逼近缩小包围圈，最终解决问题。

其二，无意插柳柳成荫。对历史长、影响深，经过一些著名数学家钻研而尚未解决的那些著名问题，往往要跳出通常的思维，独辟蹊径，这个过程会诞生新的数学分支，建立新的体系。数学问题解决固然重要，但更重要的是在解决问题的过程中，发现新的数学思路，建立新的数学工具。当年华罗庚教授倡导并组织研究这个难题，是有深邃的战略眼光的。因为它是带动解析数论、最终带动数学向前发展的重要推动力。

其三，研究“哥德巴赫猜想”需要有好的數学基础，需要了解前人所创造的思想、方法和结果，需要长期艰苦的努力，还需要有经验的数学家的引领，否则，会白白浪费宝贵光阴。

3.实施三：实践活动展示—— 时代典范

1978年徐迟的《哥德巴赫猜想》一文详细描述了陈景润餐霜饮雪、踏破铁鞋、无尽攀登、挑战数论的过程。一夜之间，陈景润街知巷闻、家喻户晓，成为那个时代的精神偶像，并改变了一代青年的人生方向。

依据教材和报告文学《哥德巴赫猜想》的内容，讲数学家陈景润的故事。

（1）故事内容要积极、健康向上，切合主题：从数学家陈景润身上学到了什么？

（2）故事的讲述力求生动有趣。

（3）时间：3～5分钟（不超过5分钟）。

（4）班级分小组，人人参加讲故事并录制视频，视频统一收集打包提交，课前小组评分排序，教师组织班级评活动，选出1～2名优秀者在班级课堂上展示。

40多年过去了，2018年党和国家表彰100位改革开放杰出贡献人员。陈景润被誉为“激励青年勇攀科学高峰的典范”。时过境迁，仍然需要陈景润“甘于清贫、耐受寂寞，醉心科学探索、执着追求真理，他在逆境中忘我钻研，勇攀科学高峰”的精神来激励新一代的青少年发愤图强、艰苦攻坚，科学报国。

（三）课后学以致用

学生课后收集整理与“哥德巴赫猜想”有关的资料，制作手抄报、学习成果展板，撰写数学阅读报告等。

在“哥德巴赫猜想”的教学中，学生通过了解“哥德巴赫猜想”的历史足迹，从数学家身上看到了“理性探索”“严谨求真”的数学精神;陈景润的精神和事迹激励学生发愤图强、艰苦攻坚;弘扬我国数学家华罗庚、王元、潘承洞、陈景润等在探索“哥德巴赫猜想”方面的辉煌成就，有利于增强学生的民族自豪感和爱国主义情感。

【参考文献】

[1]蒋晓云.文化视角下的小学数学课例研究[J].广西教育，2018（1）.

[2]李织兰.引领小学生品味“哥德巴赫猜想”的途径[J].广西教育，2020（29）.

注：本文系2020年度广西基础教育改革发展研究中心课题“基于核心素养的数学‘致善精神的培养策略研究”（编号：GSJJB202005）;广西教育科学“十三五”规划2019年度重点课题“小学数学教学中学生‘科学精神的培育研究”（编号：2019B141）研究成果。

【作者简介】李织兰（1967— ），女，汉族，广西百色人，硕士研究生学历，高级教师，研究方向为小学数学教育;蒋晓云（通讯作者）（1963— ），男，汉族，广西桂林人，大学本科学历，理学学士，教授，研究方向为数学教育、计算机密码学;王发军（1976— ），男，汉族，广西桂林人，大学本科学历，一级教师，研究方向为中学数学教育。