巧构原函数妙解导数构造问题

2021-11-24贾志锦

数理化解题研究 2021年31期

关键词：定义

贾志锦

(江苏省连云港市田家炳中学 222500)

在处理导数问题时，常常可以根据题目已知条件或相关结论进行构造辅助函数，再依据题目所给的相关不等式、方程或者最值相关的问题，建立目标函数，进而研究所给函数的性质，把复杂问题简单化.

一、根据导数的加、减运算法则构造函数

例1已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续，且f′(x)

A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)

C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)

解析设F(x)=f(x)-g(x)，F′(x)=f′(x)-g′(x)<0，所以F(x)在[a，b]上单调递减.所以F(x)在[a，b]上的最大值为F(a)=f(a)-g(a).

点评因为f′(x)的原函数为f(x)，g′(x)的原函数为g(x)，再根据所给导数的不等式，可知原函数对应的为F(x)=f(x)-g(x).

二、根据导数的乘法运算法则构造函数

例2 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立，则( ).

A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3)

C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2)

解析根据题意，令g(x)=x2f(x)，则其导函数g′(x)=2xf(x)+x2f′(x).又对任意的x>0都有2f(x)+xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，+∞)上单调递增.又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(-x)=f(x)，则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(-2)=g(2)，且g(2)

点评对于本题所给的不等式2f(x)+xf′(x)>0，可知所构造的函数必含有f(x).又因为f(x)的系数是2且是加法形式，从而联想到g(x)=x2f(x)，对于一般的xf′(x)+nf(x)>0型，可构造F(x)=xnf(x)，则F′(x)=xn-1[xf′(x)+nf(x)](注意对xn-1的符号进行讨论).