郭军舰

(西藏林芝市第一中学 860000)

圆锥曲线一直是高中教学的重点和难点，也是高考考查的压轴点，曲线的切线又是近几年考查的热点，能够更深层次地考查考生的逻辑思维能力，经常需要把导数知识与曲线知识结合起来才能顺利求解.

一、问题提出

2017年版《普通高中数学课程标准》指出：根据对几何(图形)的分析，探索解决问题的思路，运用代数的方法得到结论，研究曲线之间的基本关系，解决几何问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想，重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.

试题以圆锥曲线中的抛物线为考查背景，考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系以及与之相关的定点、定值问题，考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，综合性强，思维能力要求高，要解答该题，学生需有较强的推理能力和运算能力.

二、方法探索

思路1 从切线入手思考，探索切点弦方程.

①

思路2 从求切点弦的方程入手，探索其方程.

所以x1+x2=2k,x1x2=-2m.

思路3 从切线斜率入手思考，探索切点弦方程.

整理,得2tx1-2y1+1=0.

②

设B(x2,y2)，同理得2tx2-2y2+1=0.

③

三、规律探究

例2已知曲线C：x2=2py，点D(m,n)是曲线C开口外的一点，经过点D向曲线C作两条切线，切点分别为A，B.求直线AB的方程.

探究由已知得，过点D且与曲线C相切的直线斜率一定存在，设切线方程为y-n=k(x-m)，即y=k(x-m)+n.代入x2=2py中，得x2-2pkx+2pkm-2pn=0.

所以Δ=(-2pk)2-4(2pkm-2pn)=0.

即p2k2-2pkm+2pn=0.

④

四、结论推广

结论过曲线C：x2=2py开口外一点D(m,n)作曲线C的两条切线，切点弦直线方程为mx-py-pn=0.

从过程来看，此解法比前面……