袁龙

数列最值问题的综合性较强，不仅考查了数列的性质、定义、通项公式、前 n 项和公式等，还考查了求最值的方法.数列最值问题通常有两种命题形式，一是求数列的最大项，二是求数列前 n 项和的最大值.本文结合实例，探讨一下这两类数列最值问题的求解思路.

一、求数列的最大（小）项

求数列的最大（小）项问题较为简单，只要明确数列中各项之间的规律，便可快速找出数列的最大（小）项.一般有两种思路：（1）将数列视为自变量是自然数的函数值，根据函数的类型作出相应的函数图象，或根据函数的性质求出函数的最值，进而求出数列的最大（小）项;（2）根据通项公式研究数列的单调性，若则为最小项.

例1 .

解：

我们将数列的通项公式视为二次函数，通过配方，借助二次函数的性质求得函数的最小值，即可得到数列的最小项.①当时，数列为递增函数;②当时，数列为递减函数.根据数列的单调性，即可找出数列的最大（小）项.

二、求数列前 n 项和的最值

求数列和的最值问题一般与等差数列的前 n 项和有关.要使数列前n项和最大（小），需使且.而求等差数列前 n 项和最值有两种方法：（1）二次函数法.将等差数列前 n 项和视为关于 n 的函数，通过配方或借助二次函数的图象求二次函数的最值，即可得到的最值.（2）通项变号法.当时，满足的项数 m 使得取得最大值为;当时，满足的项数 m 使得取得最小值为.

例2.

解：

解法一主要是运用了函数思想，将等差数列的前 n 项和公式看作关于 n 的二次函数，根据二次函数的性质求得的最小值;解法二主要是运用了通项变号法，根据有最小值建立关系式得到 n 取值范围，从而求得的最小值.

在解答数列最值问题的过程中，我們首先要根据题意， 结合数列的相关性质，求出数列的通项公式的前 n 项和公式，对其进行合理的变形，然后构造函数式或不等式，利用数列的单调性、函数思想、通项变号法等求得问题的答案.

本文系海门区教育科学“十三五”规划2020年度课题《新高考模式下的“数列课堂改革”》成果.

（作者单位：江苏省南通市海门第一中学）