刘晓英

【摘要】新课标背景下的初中数学教学不但要传授给学生一定的数学知识，更重要的是让学生通过学习知识提高数学思维和解决生活问题的能力.因此，作为一线数学老师就要重视在教学中渗透数学思想，尤其是在初中数学教学中渗透化归思想，因为它可将复杂问题简单化，将抽象问题具体化，从而大大提高学生应用数学的能力.

【关键词】化归思想;初中数学;渗透策略

【基金项目】本文系甘肃省教育科学规划“十三五”规划课题《“化归思想”在初中数学教学中的渗透策略研究》（立项号：[2020]GHB2809）的阶段性研究成果.

一、认识化归思想及其意义

在数学思想中，化归思想是一种重要的思想，它可以有效提升学生的数学思维，促进学生的数学思维向高阶发展.所谓化归思想就是在解决数学问题时运用科学的手段转化问题，从而获得更好的解决问题的方式.运用化归思想可将复杂的数学问题简单化，将抽象问题形象化，真正实现数学问题的化繁为简，从而取得最优的解决问题的方法.化归思想也是基础的数学思想，它是分析、解决数学问题最常用的手段之一，是解决生活中数学问题的主要途径.在初中数学教学中，化归思想随处可见，比如在求解复杂方程的过程中可运用化归思想分析解题的思路，将复杂的问题进行转化之后会变得非常简单，最后化为常见的方程进行求解，使解答变得容易.再如，在四边形、多边形等几何图形中也能运用化归思想，即将图形划分为三角形进行求解，这就是运用化归思想的过程.

化归思想在初中数学教学中有着非常重要的意义，教师认识并运用好化归思想对于提高初中学生的数学思维意义重大.

1.化归思想可以化抽象为具象

抽象是数学最主要的特点，对于初中学生而言，他们的抽象思维还没有完全成熟，借助化归思想能够将抽象问题形象化，降低问题的难度.目前，初中数学教材已经引进了函数的内容，初中学生初步认知函数的时候会觉得非常抽象，难以理解，这时老师可借助化归思想创设有效的教学情境进行问题转化，将复杂、抽象的函数问题形象化.如：同学们，手机是一种非常普遍的通信工具，你们观察过手机缴费的方式吗？通过情境将数学问题与生活建立联系之后，老师巧妙地引入化归思想，以生活中常见的幾种缴费方式为例，引导学生进行讨论，最后总结出最便宜的缴费方式.在这样的情境中，学生潜移默化地受到了化归思想的熏陶，数学思维得到了提高.

2.化归思想可以化复杂为简单

对于初中学生而言，他们掌握的数学知识有限，往往会遇到一些陌生且复杂的问题，这时借助化归思想可将复杂问题简单化，让旧知与新知之间建立联系，提高解决问题的能力.比如，在解决下面例题的过程中便可很好地运用化归思想.

如图1，△ABC是一个等腰三角形，如果它以每秒1米的速度沿直线l向正方形移动 ，直到AB与CD重合，假设移动x秒时，正方形和三角形重合部分的面积是y平方米，那么请求出x与y的关系式.

对于初中学生来说，这是一个比较复杂的问题，涉及的是动态问题，这时老师可引导学生 “化动为静”，以图2、图3为例，用它可以看出，这是某一时间点上的图形，可以将动态点上的所有线段都用含x的式子进行表达.

在这里很好地运用了静态的方法来解决动态的问题，把一个复杂的问题通过转化简单化，让学生探究了通过转化解决问题的方法，加深了学生对化归思想的认知.

二、把握化归思想在初中数学教学中的运用原则

其实，在整个初中数学知识中贯穿着诸多数学思想，但运用最多的还是化归思想.运用好化归思想对于初中生而言可以有效提升学习效率，提高解决实际问题的能力.所谓“化归”，从字面意思上来解释就是转化和归纳总结，也就是通过一个转化的过程将复杂问题简单化，是一种提高解决问题效率的方式.比如，学生掌握了矩形面积求法之后就可求解平行四边形、三角形、多边形的面积，那么具体怎么去求它们的面积呢？这时可用割补的方法把一个平行四边形转化为矩形，也可用拼接的方法把一个三角形转化成平行四边形，这样就实现了图形的转化，将未知转化为已知，降低了解决问题的难度.具体而言，老师在初中数学教学中运用化归思想时要注意以下几个原则.

一是“熟悉化”原则.一般来说，当学生遇到非常生疏的问题时，就可运用化归思想将陌生问题转化成自己比较熟悉的问题进行解答，这样就会容易得多，而且实现了旧知与新知之间的联系，提高了解决问题的能力.

二是“简单化”原则.数学问题往往比较复杂，如果单纯依靠一种思路或者一个方面的知识解决起来会很难，这时可运用化归思想中的简单化原则，把复杂的问题转化为简单的程序性的问题，从而使问题得到解决.

三是“具体化”原则.数学本质是抽象的，但是学生在解决问题时要尽量让抽象问题具体化，使其变得形象、直观，这样问题就很容易得到解决，而这一过程中就会运用到化归思想.

四是“极端化”原则.“极端”通常是一个贬义词，但是在数学世界中它是一种有效解决问题的方法.所谓极端化就是先让问题处于极端的位置再去思考，从而得到一般化中的状态，得到解答的思路.比如，数学中认为点是圆的半径为零的一种极端情形，还把三角形看成梯形的上底长度变为零之后的极端情形.

三、化归思想在初中数学教学中的渗透策略

哲学家认为人们对世界的认知就是由一般到特殊再由特殊到一般的过程，这也是化归思想中的一条普遍的规律.初中数学教学也呈现了这个特性.化归思想在初中数学教学中的渗透策略有以下几个.

1.化归思想中的“特殊化法”

所谓“特殊化法”就是当面对一个比较难解决的问题时，可运用化归思想实现由一般到特殊的转化，从而找到容易解决的形式，这一转化过程就非常符合人们对世界的普遍认知规律.“特殊化法”有两种常见的方式：一是从比较简单的形式去思考，寻找解决问题的途径，二是将特殊对象转化为一般问题进行思考.

比如，在现代数学体系里，对于方程组的求解常常就采用这种特殊化法.例如，推导一元二次方程的常见解法时，首先要对其特殊形式下的一元二次方程（x2=m（m≥0））进行讨论，然后对一般形式下的一元二次方程（ax2+bx+c=0，a≠0，b2-4ac≥0）进行特殊化法求解，从而得出结果.

例1解方程式：（x2-2）2-3（x2-2）+2=0.

解这一方程时要先进行分析，如果把原来的方程式展开进行求解，会得到一个高次的方程，但是对原方程进行观察之后，可发现规律，若令y=x2-2，就可把原方程的次数降低，也就是把原来的方程转化为一元二次方程y2-3y+2=0，先解出y值，再解出x值，使用这样的特殊化法之后，原方程就很容易求解.

其实在初中的平面几何教学中也常常会用到化归思想，一般来说，就是将图形通过画辅助线的方式进行化归，把特殊化为一般，转化为简单的图形.

例2求证一个n边形的内角和是（n-2）×180°.

在求证之前还要先进行一番分析，因为三角形的三个内角之和是180°，所以可以把一个多边形以添加对角线的方式转化成多个三角形，然后利用三角形的三个内角的和等于180°的结果进行求证.（求证过程略）

2.化归思想中的“一般化法”

化归思想中除了运用到“特殊化法”之外，还经常会用“一般化法”，它同样能够化复杂为简单，达到解决问题的目的.比如，比较两个数20202021与20212020的大小，就会运用到化归思想中的“一般化法”.

例3请观察下列各算式：

1×2×3×4+1=52，

2×3×4×5+1=112，

3×4×5×6+1=192.

问题1：观察算式得出一个一般性的结论，并给出证明的过程.

问题2：根据问题1用一个最简算的方法算出2006×2007×2008×2009+1的结果.

同样，在进行计算之前先要进行分析：首先要考虑一般式子n（n+1）（n+2）（n+3）+1的结果到底是一个什么样的式子，进行化简之后可得出结果为（n2+3n+1）2，而要计算问题2 中的结果，只需令n=2006即可，然后代入算式进行计算，就很容易地得到了答案.

这里很明显地运用到了化归思想中的“一般化法”，实现了让复杂问题简单化的目的，让计算变得简单容易.

3.化归思想中的“數形转化”

在初中数学知识中，有些问题如果单纯地运用数学知识去解决往往会比较复杂，解法也不一定是最优的，但是如果转变一下思路，运用化归思想，用其他数学知识进行求解，也许会变得简单容易，让解题方法最优化，而化归思想中的“数形转化”就是这种方法.我国数学家华罗庚曾经说过一段话：数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事非.这里很形象地讲出数学中数形结合的重要性.在初中数学函数这一部分内容中，常常会用函数解析式来分析函数图像，或者用函数图像分析函数的性质，其实，这就是巧妙地运用到了化归思想中“数形转化”.

例4方程-x2+5x-2=2x的根中正根的个数有（）个.

A.0B.1C.2D.3

同样地，在进行解答之前先要进行分析，如果运用去掉分母的方式计算就会把方程化成一个三次方程，这超出了初中学生的知识范围，但是，如果换一个思路，运用化归思想中的“数形转化”，那么这个问题就轻而易举地得到了解答，也就是将这个数学方程式进行转化，分解为一个双曲线和一个抛物线，分别画出它们的图形则可得到答案.

抛物线：y=-x2+5x-2，双曲线y=2x.

如图4所示，当x>0时，这两个函数出现了2个交点，这样就可得知方程-x2+5x-2=2x的根中正根的个数有2个.

四、结语

总之，化归思想作为初中数学教学中需要渗透的一种重要思想，它对学生数学思维的发展有着非常积极的作用.一线数学老师一定要立足于学生实际，借助化归思想帮助学生建构起数学知识体系，提升学生的数学探究能力，帮助学生解决生活中的实际问题.

【参考文献】

[1]李建春.化归思想在初中数学教学中的应用[J].教育教学论坛，2013（12）：93.

[2]陈琬琛.化归思想在初中数学教学中的渗透[J].海峡科学，2013（5）：91.

[3]郭玉.浅议化归思想在初中数学教学中的应用[J].学周刊，2016（35）：117.