余飞

[摘  要] 精心设计探究活动，打造动感数学课堂是探究性教学的强烈诉求. 文章基于“解三角形”复习课的教学过程，作出反思：探究性教学需基于学生基础，将数学思维作为探究性教学的起点;基于互动交流，利用情感因素驱动学生一探究竟;基于学生本位，通过探究不息揭示数学本质.

[关键词] 探究性教学;解三角形;动感数学课堂

[?]问题的提出

探究性教学观是数学课程标准理念下的深入发展，也是教师精心设计探究活动的“升级版”. 它着重强调不断探索和自主构建的学习过程，表现为以课本内容为依托，以学生为主体，通过组织、点拨和引导来精设探究活动，让学生在自主探究的模式下实现教学目标，让数学课堂卓有成效，成为动感数学课堂. 因而，探究性教学的目标与活动都需要立足于能力生长的高度来进行，为学生的发展谋求最大利益.

既然探究性教学是广大一线教师着重关注的话题，那么就更加需要我们积极去理解和实践. 在课堂教学中需要如何创新设计探究活动，才能实现新课程标准所倡导的探究发现和生长能力的理念呢？抱着积极尝试和反思提升的情怀，笔者开设了一节“解三角形”的复习课，下面就摘取部分教学过程加以分析.

[?]教学片段实录

1. 激趣布疑，引发探究

问题1：已知△ABC中，内角A，B，C分别对应边a，b，c，且有a2=b（b+c），A=60°，试求B.

效能分析：以问题驱动数学课堂是一线数学教师复习课教学的一大法宝. 这里从一道典型数学问题引入，来激活学生的思维，让学生带着问题由初步感觉向着体验感知逐步迈进.

2. 交流探究，精彩纷呈

师：这是一道值得“一探究竟”的数学问题，请大家独立思考后，说一说解题思路.

生1：根据cosA==和a2=b（b+c），可得=，从而有c=2b，a=b，所以cosB=，所以B=30°.

师：思路清晰，很好. 生1出示的是一般性解法，其他同学有不同解法吗？

生2：可以利用cosB求出结果.

师：能说一说具体的解题过程吗？

生2：cosB=====，从而得出cosB=，则有sinA=2sinBcosB=sin2B，所以A=2B或A+2B=180°（舍去），所以B=30°.

师：哇！十分流畅且有创意的解法，其他人有没有不同的观点呢？

生3：我也是利用cosB来探求的，不过和他的方法不同. 因为cosB==，从而得出cosB=，即2sinAcosB=sinB+sinC，则有cosB=sinB+sin（A+B）=sinB+cosB+sinB，化简后得出tanB=，所以B=30°.

师：生3的解法也甚是精彩，看来思维的“预热”已经到位了，下面就让我们期待更多的新发现.

生4：既然可以利用cosB求解，是不是也可以尝试利用cosC求解呢？cosC===，好像没办法化简下去了. （生4尴尬地摇了摇头）

师：生4的联想是非常棒的，大家说是不是？既然有了思路，我们不妨试一试，看看是不是真的不可以. （学生展开了火热的讨论）

生5：可以因式分解这个分式：cosC====. 之后的我还没有想到.

师：非常棒！生5带领我们跨出了艰难的一步，下面该怎么办呢？

生6：利用“边化角”，得出cosC=，则2sin2BcosC=2sinA·sinB-sinAsinC，后面的我好像也不会了……（其他学生也陷入了久久的沉思）

师：要不老师来试一试？我们可以看出，这个等式左侧是3次，而右侧是2次，是否可以统一次数呢？显然，这里对等式左侧降次的难度系数太多，那就对等式右侧升次，则2sin2BcosC=2sin（B+C）sinB-sin（B+C）sinC，进一步得出2sin2BcosC=2sin2BcosC+2cosBsinCsinB-sinBcosC·sinC-cosBsin2C，化简后可得2cosBsinB=sinBcosC+cosBsinC，即sin2B=sin（B+C）=sinA，所以A=2B或A+2B=180°（舍去），所以B=30°. （学生立刻鼓起掌来，为教师的精彩解析过程，也为自己的深入探究）

师：看！在我们的通力合作下，成功完成了这种方法的解题，这里凝聚着我们大家的智慧和思维！

师（拾级而上）：用这样的方法来解决本题果真完美吗？刚才我们通过几种方法探究这个问题，但从始至终选择的方法都是“余弦定理”，當然探究的过程中也尝到了收获的喜悦，但是思维的归宿却总是“边化角”. 我们再回到问题的条件中，有何发现？（短暂的沉默后，有学生有了想法）

生7：式子a2=b（b+c）为边的齐次式，可直接“边化角”.

师：很敏捷的思路，要不再来尝试一下？

生7：根据a2=b（b+c），可得sin2A=sinB（sinB+sinC），则sin2A-sin2B=sinB·sinC……（又一次思维卡壳）

师：很不错，哪位同学能施以援手？

生8：通过降次，得到-=sinBsinC，即cos2B-cos2A=2sinBsinC，得出cos[（A+B）-（A-B）]-cos[（A+B）+（A-B）]=2sinBsinC，即2sin（A+B）sin（A-B）=2sinBsinC，从而sin（A-B）=sinB，进一步得出A-B=B或A-B+B=180°（舍去），则A=2B，所以B=30°.

师（总结）：从刚才的探究过程可以看出，一道典型的数学问题有着无穷无尽的探究乐趣，而经过多番探索，你们觉得哪种解法最为简单？

生9：还是生1的解法最简单.

师：非常正确，这种解法不仅简单而且也是最容易想到的.

生10：那我们刚才的“万般折腾”有何意义？

师：是否有意义呢？下面我们来看这样一个问题……

效能分析：在掌握了解三角形问题的一般方法的基础上，继续让学生经历解决问题方法的形成过程，去倾听、去观察、去实践、去交流、去思考、去联想、去争辩，进而探究得出更多的解法和思路，收获更多的解三角形的方法，以便今后在应用这一解法求解这类问题时更加得心应手.

3. 探究不息，揭示本质

问题2：已知△ABC中，内角A，B，C分别对应边a，b，c，且有a2=b（b+c），A=80°，试求B.

师：现在用常规方法还能解决这一问题吗？（学生沉思片刻后纷纷摇头）

师：其他方法呢？（学生又纷纷点头，一下明白了本节课探究的意义）

师：由此可见，解决问题时我们需要树立“一题多解”和“一题多探”的观念，这样才能在真正意义上探到问题本质，理解数学. 那么，这道题一般方法真的没办法解决吗？

生1：根据cosA====，从而有2sinBcosA=sinC-sinB，则2sinBcosA=sin（A+B）-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB，则sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），进一步得出A-B=B或A-B+B=180°（舍去），则A=2B，所以B=40°.

师：哇，非常好，让我们为生1的“探究不息”鼓掌！

效能分析：通过一系列分析和思考，学生建构了自己的方法体系，而灵活运用却又是另一考验，通过变式问题提升学生选择思维的能力，并在师生交流和生生互动中完善知识和方法，充分体验探究性教学的“探究不息”.

[?]教学反思

1. 基于学生基础，将数学思维作为探究性教学的起点

高中数学课堂时间少、任务紧，不少教师出于功利性目的，复习课中总是讲解各种各样的习题，介绍多种多样的解题方法，完全忽视了学生的基础和感受，毫不关心学生思维的主动性，教学效果自然可想而知. 探究性教学中，教学设计是建立在学生的已有知识经验基础之上的，考虑到学生是一个动态而富有个性的主体，因此需将学生的思维作为起点开展数学探究活动. 本课中，教师在课前做好了充分的预设，了解到学生的一般性思路和会出现的问题，以此开展教学活动. 在课堂上，暴露学生的思维障碍，顺势而上进行点拨和引导学生积极探索，从而掌握一种又一种的解三角形的方法，促进了学生的深度学习.

2. 基于互动交流，利用情感因素驱动学生一探究竟

动机是学习中不可或缺的一部分，它以情绪、态度和意志的模式呈现，在探究性教学中充分利用好情感因素可以驱动学生的学习. 基于互动交流的探究性课堂，学生能充分表达自身的思路和见解，师生之间连续不断地发问和探讨，这样的互动交流并不是仅仅传递了数学知识、技能和方法，更多的是充分利用情感因素驱动学生突破一个又一个障碍，在一探究竟之后体会成功的喜悦，形成自己的观点和看法. 本课中，教师不断鼓励和倡导思维风暴，激发学生探究的动机，使学生努力去解决思维障碍，完善认知结构. 在这个过程中，学生可以感觉到教师是真正认可自己的想法和回答的，从而增加了探究的幸福感，成就了克服困难的勇气，在探究中形成了深刻的认识.

3. 基于学生本位，通过探究不息揭示数学本质

叶澜教授曾说：将课堂还给学生，让课堂焕发生命活力. 在探究性教学的实施下，“学生本位”的理念是不可动摇的. 在这个过程中，教师给学生一个启发或问题，促使学生自己进行探究，让教与学的过程充满挑战和乐趣，使原有思维经验获得新的生命力. 本课中，教师通过问题指引学生进行有效的探究，自然生成一个又一个源于学生基础的数学思考，促进学生探究不息，打造动感数学课堂.

总之，教学即探究，探究发现的历程就是培养学生思维能力和数学素养的重要渠道. 从而在探究性教学中教师应关注学生基础，关注互动交流，關注学生本位，将数学思维作为探究性教学的起点，利用情感因素驱动学生一探究竟，通过探究不息揭示数学本质. 只有这样的课堂才是真正意义上的动感数学课堂.