孙会贤,顾海波,马丽娜

(新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)

0 引言

积分微分方程通常被用来刻画生物模型、化学动力学、流体力学等现实生活中的很多现象。实际上,用随机微分方程或者随机积分微分方程来描述一些自然现象更为合理[1-5]。另外,在很多动力系统中都会有脉冲现象的存在,所以在考虑随机干扰的同时考虑到脉冲的影响很有必要,脉冲微分方程的特点引起了学者们的关注。近年来,许多学者研究了固定脉冲微分方程的初边值问题[6-9]。2019年,文献[10]研究了二阶非线性积分边值问题

正解的存在唯一性,且存在t0∈[η,1]使得a(t0)>0。

Zhao和Chen[11]研究了二阶脉冲微分方程边值问题

a>0,b≥0,c>0,d≥0,0=t0

解的存在唯一性。

2011年,Xia和Lin[12]讨论了随机微分方程两点边值问题

其中T>0,A和B为d×d阶矩阵,{W(t),0≤t≤T}是k维标准布朗运动，给出了自适应解存在的充要条件,并对于特殊选择的解,得到了边值问题的连续相依性。

2020年,Dong[3]研究了随机分数阶积分微分方程

受此启发,本文将以往所研究的方程的脉冲项和边界条件做了推广,对其限制条件进行了修改,考虑带有脉冲的二阶随机微分方程的积分边值问题

(1)

其中f:J×R×R→R连续,w=(w1,w2,…,wn)T是给定的n维标准布朗运动，

1 预备知识

假定(Ω,Γ,P)是一个完备的概率空间,其中Ω是一个样本空间(或任意一个集合),Γ是由Ω的部分子集构成的集合族,Γ中的元素称为事件,P是(Ω,Γ)上的概率,Lq(Ω,Rn)为强可测空间,满足q次可积,且u:Ω→Rn为任意Γt可测d维随机变量。

则PC(J,L2(Ω,Rn))构成一个Banach空间。

则PC1(J,L2(Ω,Rn))构成一个Banach空间。

引理1[13]基本不等式

(ⅰ)p>0,|a+b+c|p≤3p-1(|a|p+|b|p+|c|p);

(ⅲ) Doob鞅不等式

定义1……