高 芳

(聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059)

0 引言

李对称分析是非线性偏微分方程求解的方法之一，其思想是通过构造不变量作为函数变换的基础，使偏微分方程减少一个自变量得到化简或求解。比如，文献[1]研究了耦合可积无色散方程，在李对称分析的基础上，构造了一维子代数的最优系统，给出了相似约简和群不变解，并且得到了显示幂级数解和方程的守恒律；文献[2]也同样应用经典对称方法研究了双曲曲线流演化方程对称性的一维最优系统，精确解和幂级数解；文献[3]还用同样方法讨论了带耗散性的正双曲平均曲率流的群不变解和幂级数解以及幂级数解的收敛性。

最近，多位学者研究了尘埃等离子体和量子物理中的非线性Zakharov-Kuznetsov(ZK)型方程。文献[4]研究了超热电子-正电子-离子等离子体中的Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程;文献[5]利用约化微扰法，导出了离子声孤波的非线性ZK方程;文献[6]研究了具有上自旋和下自旋电子相对密度效应的磁化量子等离子体中的非线性静电孤立脉冲;文献[7]探讨了磁化尘埃等离子体中三维非线性扩展ZK动力学方程的声孤波解。

高东宁等[8]提出了扩展的ZK方程

ut-ux+Auux+Bu2ux+Cuxxx+D(uxyy+uxzz)=0,

(1)

其中A,B,C,D定义于文献[8]中。Shrouk Weal等[9]研究了方程(1)的对称约化、守恒律和声波解，通过李群分析得到6个李代数生成子如下：

(2)

基于上述研究成果，拟应用(2)式和李对称方法，研究扩展的方程(1)的最优系统、精确解和幂级数。

1 一维最优系统

令(1)(2)式中的系数A=-2，B=-1,(1)式变为

ut-ux-2uux-u2ux+Cuxxx+D(uxyy+uxzz)=0,

(3)

则(2)变为

(4)

根据(4)式和公式

[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,

可以得到李括号表，见表1。……