◎王永军 (重庆市广益中学校，重庆 400065)

2个正数的均值不等式(基本不等式)可以由重要不等式(a-b)2≥0直接得出.数学中常常用到4种形式的均值：调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.

一、均值不等式

若0

①

二、尺规作图示例

(一)作出线段BC的中点A

图1

如图1，分别以点B，C为圆心，以线段BC的长为半径，作出⊙B、⊙C.记⊙B、⊙C交于点A1，A2，连接直线A1A2交线段BC于点A.

(二)过线段BC上点A作BC的垂线

图2

如图2，以点A为圆心作出⊙A，交直线BC于点B1，B2.分别以点B1，B2为圆心，以线段B1B2的长为半径，作弧.记两弧交于点A1，A2，则直线A1A2过点A，且A1A2⊥BC，A为垂足.

(三)过直线BC外一点G作BC的垂线

图3

如图3，以点G为圆心(半径足够大)作弧，交直线BC于点B1，B2.分别以点B1，B2为圆心，以线段B1B2的长为半径，作出弧，交于点A1，A2，则直线A1A2过点G，设直线A1A2交直线BC于点H，此时A1A2⊥BC，H为垂足.

(四)过⊙A外一点N作⊙A的切线

图4

如图4，连接AN，作出线段AN的中点A1.以点A1为圆心，以线段AA1的长为半径作⊙A1.取⊙A、⊙A1的2个交点之一为点G，则直线NG为⊙A的切线，G为切点.

三、用尺规作图法证明均值不等式

下面用尺规作图法证明①式.

图5

(一)作线段

如图5，作出线段CN=a，在线段NC的延长线上作点B，使BN=b.

易见BC=b-a.

(二)作中点、作圆

(三)作圆的切线

如图5，过点N作⊙A的切线NG，G为切点.

由切割线定理(或相似：△NCG∽△NGB)得

(四)作垂线

如图5，过点G作GH⊥AN，H为垂足.

过点A作AQ⊥BC，直线AQ交⊙A于点Q.

(五)作同心圆

如图5，以点N为圆心，以a，b的长为半径作同心圆⊙N.则小圆与⊙A外切于点C，大圆与⊙A内切于点B.

易见点H在同心圆⊙N小圆之外，故HN>CN=a.

在同心圆⊙N大圆中，QN

另外，在直角三角形中，直角边小于斜边(大角对大边).

综上，立即可得

CN

(六)用尺规作图法另……

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