周丽佳 王品 张占美

摘要：本文分析了高等数学中连续性的概念，对间断点的判断及常见错误通过经典例题的形式进行了分析。

关键词：连续性;间断点

函数的连续性是高等数学中一个非常重要的数学概念，连续性反映了自然现象连续变化的共同特性。古典物理学有一句格言：自然界中一切都是连续的。高等数学中所研究的主要对象也是连续函数。

一、函数在一点处连续的定义

函数在一点处连续的定义主要两种形式。

定义1：设函数在的某一邻域内有定义，如果趋近于零时，的极限值是0，即，那么，函数在点处就是连续的。

定义1刻画了函数连续的本质—自变量的微小变化引起的只能是函数值的微小变化。连续的这一定义也解释了众多自然现象。例如汽车在行驶过程中，虽然做的是变速运动，但是当时间间隔非常非常短时，速度的变化就会非常小。再例如一天中温度差异很大，但是如果时间间隔非常短时，温差就会很小等等。

定义2：设函数在的某一邻域内有定义，若极限值与函数值相等，即，则称函数在点处连续的。

这两个都是函数在一点处的定义，那这两个定义有什么关系呢？定义1的关系式中，令，则当趋近于0时，与有什么关系呢？显然趋近于。那么，关系式如何变形？趋近于0可以换成趋近于，可以换成，于是，我们得到，由于是常数值，它的极限就是它本身，因此，得到，从而得出。通过分析我们可以看出，定义2其实就是对定义1进行了形式上的改写。……