丁 波 欧志华 奉瑞萍

热传导方程的积分变换求解与MATLAB实现

丁 波 欧志华 奉瑞萍

（湖南工业大学 土木工程学院，湖南 株洲 412007）

热传导方程是物理学中经典方程之一，反映热的作用规律。有关热传导方程的解法有分离变量法、延拓法、特殊函数法、积分变换法等。本文首先介绍Fourier变换和Laplace变换在求解热传导方程中的应用，然后以抛物型方程Heat Equation为例，给出了通过MATLAB中的偏微分方程工具箱PDE Toolbox进行建模求解及模拟直观。通过空间中的温度场分布和梯度方向，发现温度是由温度高的一面向低的一面变化，而且最靠近热源的分子首先被加热，经过一段时间，温度场中每一点都非常接近与它所能到达的最高温度，逐渐趋于稳态。

热传导方程；Fourier变换；Laplace变换；MATLAB实现

热的作用服从于一些不变的规律，如果不借助数学工具分析就不能精确地发现和了解这些规律。法国数学家和物理学家傅里叶(Jean-Baptiste-Joseph Fourier，1768-1830)，最早建立热传导方程来研究热的作用规律，1807年，他向科学院提交的论文《关于热传导的研究报告》中建立了关于不连续的物质和特殊形状的连续体的热扩散（即热传导）方程。和重力、磁场一样，热贯穿于宇间的一切物质之中，热传导方程是物理学经典方程之一，反映了温度在空间中如何变化[1]。热传导方程是二阶线性偏微分方程，解的呈现形式复杂且多样，孙桂荣[2]等运用Nevanlinna值分布理论讨论了二阶线性微分方程解的径向振荡问题，杨琰琰[3]等运用Nevanlinna值分布理论和方法考察了……