洪汪宝

(安徽省安庆市第一中学 246004)

题目已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sinAcosB-sinBcosC=sinCcosB.

(1)若a,b,c成等比数列，试判断△ABC的形状；

(2)若a=2,c=3，点D在边AC上，且BD平分∠ABC，求BD的长.

本题是我校2020届高三第三次模拟考试的理科第17题，主要考查三角恒等变换、特殊角的三角函数值、等比数列的定义、正弦定理、余弦定理等多个知识点，对学生的逻辑推理能力和运算求解能力要求较高，要求学生具备扎实的逻辑推理素养和数学运算素养.

一、解法探究

1.第(1)小题的解法

由a,b,c成等比数列知b2=ac.

方法2由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时，b2=ac，因此△ABC是等边三角形.

点评解法1直接利用余弦定理并整理得到完全平方式；解法2利用重要不等式，巧用取等条件，将解三角形与重要不等式相结合，是我们常见的一个综合点；解法3发现所给等式的两边均为二次，利用正弦定理，将边化为角，再利用三角恒等变换，对学生的运算求解能力要求较高；解法4引入公比q，实际上是为了消元，将多元化为一元，体现了转化与化归思想.

2.第(2)小题的解法

点评解法1，2，3主要都是利用正弦定理和余弦定理，思路比较自然.根据已知条件，在△ABC中，已知两边及其夹角，该三角形是唯一确定的，所以其内角平分线的长也是唯一的.解法1中出现两解，要注意取舍，而且整个计算过程比较繁琐，不少学生应用了该解法，但算出来的不多；解法2的后面利用了正弦定理，效果比较好；解法3挖掘出隐藏条件∠ADB+∠CDB=π，要注意这个模型的应用.

二、复习建议

1.理清知识要点，正确选用定理

解……