何丽琴,游小英,方连花

（1.漳州职业技术学院信息工程学院,福建漳州363000；2.泉州信息工程学院通识教育中心,福建 泉州362000）

数学家Pawlak提出的粗糙集理论[1]是一种用于处理模糊、不确定信息的数学方法.目前，已有很多学者在不同的方向上对其展开了研究，这些方向有：覆盖粗糙集[2]、变精度粗糙集[3]、多粒度粗糙集[4-6]、变精度多粒度粗糙集[7]等.

粗糙集上、下近似的定义太过于精确，不具有容错性.根据经典粗糙集的非容错性特征，Ziarko[3]结合概率论，定义了变精度粗糙集模型，它能够灵活地处理生活中一些具有模糊不确定的概念与决策.经典粗糙集与变精度粗糙集都属于单粒度粗糙集模型，然而实际问题的处理常常需要从多个角度来考虑，因此多粒度粗糙集更能适应于现实生活的应用.

现今，关于变精度多粒度粗糙集的成果不断涌现.钱宇华等[4-6]提出了多粒度粗糙集、并研究了该模型的一些性质；窦慧莉等[7]提出了可变精度多粒度粗糙集模型，并探讨了该模型的性质.

证据理论[8-9]是由mass函数生成的信任、似然函数来描述知识的不确定性.同样用于度量不确定性的粗糙集理论，其近似算子可用证据理论中的信任、似然函数来定性描述.B Marszal-Paszek 等[13]结合证据理论与变精度粗糙集模型，探究了β-近似域定义下的信任和似然函数.Tan 等[11]结合证据理论，探讨了多粒度粗糙集的一些数值特征.车晓雅等[12]探究了证据理论下多粒度覆盖粗糙集的属性特征.然而，证据理论与变精度多粒度粗糙集的关系的研究目前比较少，对于基于证据理论的变精度多粒度粗糙集的数值属性研究有待进一步完善.

本文结合了变精度多粒度粗糙集和证据理论，并对其数值属性问题进行了一些探讨，首先介绍了变精度多粒度粗糙集模型的上近似算子、下近似算子，然后通过划分函数将多粒度粗糙集转化成单粒度粗糙集，构建了变精度多粒度粗糙集模型的信任结构，并生成相应的信任函数与似然函数，这些结果有利于完善变精度多粒度粗糙集的数值属性约简理论.

1 变精度粗糙集

设U为有限非空论域，A表示所有属性的集合，则称二元组(U,A)为信息系统.对∀a∈A，定义映射a:U→Va，Va表示属性a的值域，即a(x) ∈Va(∀x∈U).在信息系统(U,A)中，由属性集A，可得到一个不可分辨关系IND(A)={(x,y) ∈U2:∀a∈A,a(x)=a(y)}.

易证，不可分辨关系是一个等价关系，[x]A={y∈U:(x,y) ∈IND(A)}，表示x的等价类.

定义1[3](相对正确分类率)设有限论域U，对∀X,Y⊆U，定义X相对于Y的相对正确分类率为：其中|X|表示的是集合X的元素个数(基数).

定义2[3](变精度上、下近似)设论域U，A是所有属性的集合，(U,A)为信息系统，0.5<β≤1，对于∀X⊆U，则X的β下近似、上近似算子分别定义为而X的β边界域和负域为

定义3[13]设论域U，定义集函数m:2U→[0,1](2U是U的全体子集)，称其为mass函数，若满足：

1)m(∅)=0；

基于上述定义，可导出信任、似然函数的定义：

定义4[8]设论域U，集函数m:2U→[0,1]为mass函数.则以下函数：

1)集函数Bel:2U→[0,1]称为U上的信任函数，若满足

2)集函数Pl:2U→[0,1]称为U上的似然函数，若满足显然，Bel(X)=～Pl(～X).此外，信任函数还满足：

1)Bel(∅)=0；

2)Bel(U)=1；

2 变精度多粒度粗糙集

定义5[7]（变精度多粒度粗糙集的下近似与上近似）设信息系统(U,A)，其中U是论域，且A1，A2，…，Am⊆A，对∀X⊆U，0.5<β≤1，有：

1)X的变精度乐观多粒度下、上近似为：

2)X的变精度悲观多粒度下、上近似为：

3 变精度多粒度粗糙集的信任结构

Tan等[11]曾表明乐观多粒度粗糙集不能用证据理论来刻画，悲观多粒度粗糙集才能被证据理论刻画.因此，我们只探讨变精度悲观多粒度粗糙集的信任结构.

信息系统(U,A∪{d})被称为决策表，其中d为决策属性.我们假设决策属性d的值域是Vd={1,…,l}，且决策类U d={D1,D2,…,Dl}，其中Di={x∈U:d(x)=i}，i是决策类的序.

定义6信息系统(U,A∪{d})，对于任意属性B⊆A及∀x∈U，定义集函数jB:2U→2U:jB(X)={x∈U|(x)B=X}.对于∀X∈2U，则jB(X)是论域U上的一个划分.

证明首先，证明∀X，X`⊆U，X≠X`，jB(X) ∩jB(X`)≠∅.假设∃x∈U，使x∈jB(X) ∩jB(X`)，则有(x)B=X=X`成立，这与X≠X`矛盾.因此，∀X，X`⊆U，X≠X`，jB(X) ∩jB(X`)≠∅.其次，证明U=有x∈(x)B，(x)B≠∅，(x)B⊆U，则故对于∀X∈2U，jB(X)是论域U上的一个划分.

根据以上集函数，可把变精度多粒度粗糙集转化成单粒度粗糙集.此时，变精度单粒度粗糙集便存在信任结构，并且在集函数产生的划分jB(X)下的X的β变精度单粒度下近似、上近似分别为：

而X的β变精度单粒度边界域和负域为

对于信息系统(U,A∪{d})，决策属性d的值域是Vd={1,…,l}，且决策类U d={D1,D2,…,Dl}，集合Vd={1,…,l} 称为d定义下的不可区分框架.对∀θ⊆Vd，我们定义的θ的β边界域为：

命题1[10]集族中所有不空的集合组成了论域U上的一个划分.

对于信息系统(U,A∪{d}) 被称为决策表，决策属性d的值域是Vd={1,…,l}，且决策类U d={D1,D2,…,Dl}.我们将Vd拓展成Vd∪{0}，其中0 是一个特殊元，这就意味着，对于集合∅⊆U，BdjB(X),β(∅)有着特殊的决策d=0.

定义7对于∀θ⊆Vd∪{0}，定义函数

上述的函数将决策类的序数集合Vd∪{0}的子集转化成中的元素.

定义8设Θ={θ0,θ1,…,θk}是一个决策表的不可区分兼容框架，定义一个标准双射函数χ:Θ→Vd∪{0}，χ(θi)=i，i=0,1,…,l.

定义9对于Vd∪{0}，∀x∈U，定义新的β决策属性函数来近似决策属性d，函数如下：

命题2设信息系统(U,A∪{d})，其中U是论域，对∀X⊆U，∀x∈U，∀θ⊆Vd∪{0}，mass 函数m:2Θ→[0,1]定义如下：则

证明mjB(X),β(∅)=0，显然成立.

综上，易得以下定理：

定理设信息系统(U,A∪{d})，Θ是一个决策表的不可区分兼容框架，χ是一个从Θ到Vd∪{0}的标准双射函数.对∀X⊆U，∀x∈U，∀θ⊆Vd∪{0}，由mass函数，则可导出信任函数和似然函数：

4 实例说明

例设信息系统(U,A∪{d})，设U={x1,x2,…,x21} 为论域，决策类为U d={D1,D2,D3}，其中D1={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x20,x21}，D2={x13,x14,x15,x16,x17}，D3={x11,x12,x18,x19}.

对不同属性A1，A2产生的多粒度划分为：

令B={A1,A2}，则

则可以得到

U jB(X)={{x1,x2,x11,x12,x19},{x3},{x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x13,x20,x21},{x14,x15,x16,x17,x18}}.令β=0.9，则变精度单粒度粗糙集上、下近似算子为：

我们有Vd={1,2,3}，可以直接计算出

5 结论

本文构建了证据理论下变精度多粒度粗糙集模型的信任结构，并产生了该模型的信任函数与似然函数，还用实例来说明这整套方法的合理性.通过上述的研究，为变精度多粒度粗糙集研究提供了一个新思路.今后的工作，我们可以通过变精度多粒度粗糙集的信任结构去探索该模型的属性约简方法.