孙文鑫，刘玉锋，卓春英

1.重庆水利电力职业技术学院，重庆402160

2.重庆大学 城市科技学院，重庆402160

+通讯作者E-mail:sunxuxin520@163.com

1 引言

1980 年，波兰教授Pawlak 提出了一种处理不精确信息的理论——粗糙集理论[1]。这种理论通过运用已掌握的知识，来近似刻画那些不确定的知识。目前，该理论已经成功应用在医疗诊断、决策分析、数据挖掘等方面[2]。

粒计算也是目前研究者最关注的热点课题之一。自1979 年，Zadeh 提出了模糊信息粒的概念[3]，1985年，Hobbs用“粒度”作为论文题目发表在美国洛杉矶举行的国际人工智能联合会议上[4]；Yao 提出了邻域系统的粒度计算模型，并应用在了知识发现等领域[5]后，粒计算的研究已经成为当前研究的热门课题[6-9]。

Qian等从粒的角度出发研究讨论了粗糙集理论，建立了乐观和悲观多粒度粗糙集模型[10]。随着多粒度粗糙集模型的建立，粗糙集理论的研究步入了新的阶段[11-14]。Xu等建立了多粒度模糊粗糙集模型[15]、序信息系统中的多粒度粗糙集模型[16]以及广义多粒度粗糙集模型[17]；Yang 等研究了多粒度粗糙集的空间结构特点[18]；Lin 等提出了一种基于邻域的多粒度粗糙集模型[19]；She 等探讨了多粒度粗糙集的空间拓扑结构[20]。近几年来，多粒度粗糙集的研究成果主要体现在文献[21-26]。

软集也是处理不确定性问题的一种工具。Molodtsov 在1999 年进行了软集理论方面的研究[27]；Gong 等在软集的应用方面进行了大量的研究[28]；Herawan等验证了粗糙集和软集之间的关系[29]；Feng等建立了软粗糙集模型[30]；李文涛将软粗糙集和多粒度粗糙集结合起来建立了多粒度软粗糙集模型[31]。软粗糙集理论在国内的研究成果也是硕果累累[32-33]。

本文在探讨研究多粒度软粗糙集模型的过程中，发现并建立了介于乐观和悲观多粒度软粗糙集间的一种新模型——程度多粒度软粗糙集模型。其主要结构如下：第2章主要介绍了软粗糙集和多粒度软粗糙集的一些相关概念；第3章建立了程度多粒度软粗糙集模型，讨论了各近似算子的性质；第4 章给出了程度多粒度软粗糙集粗糙度和近似精度的定义和性质；第5章通过医生诊病的案例验证了模型的实用性；第6章对本文做了简单的总结概述。

2 软粗糙集和多粒度软粗糙集

软集是一种处理不确定性问题的工具，它可以被看作信息系统的另一种描述方法。

定义1[27]设论域U为非空集合，E为非空属性级，任意的A⊆E，存在一个集值映射F：A→P(U)，则称F与A构成的二元组S=(F,A)为论域U上的一个软集。∀a∈A，在软集S=(F,A)中，F(a)是近似元素构成的集合，可以为空集。

定义2[33]设二元组(F,A)和(G,B)是论域U上的两个软集，若B⊆A且G(B)⊆F(A)，则称(G,B)是(F,A)的一个软子集，记为(G,B)⊆(F,A)。

定义3[30]设S=(F,E)是论域U上的一个软集，若A⊆E，则称(U,A)为软近似空间。

定义4[30]设S=(F,E)是论域U上的一个软集，A⊆E，对于任意的X⊆U，定义X的软下近似和上近似分别为：

定义5[31]设S=(F,E)是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m) 是论域U中的软子集(Ai⊆E) 。对于任意的X⊆U，定义乐观多粒度软下近似和上近似分别为：

定义6[31]设S=(F,E)是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U中的软子集(Ai⊆E)。对于任意的X⊆U，定义悲观多粒度软下近似和上近似分别为：

3 程度多粒度软粗糙集

定义7 设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U中的软子集(Ai⊆E)，对于任意的X⊆U,x∈U，若∃a∈Ai，有x∈F(a)，则定义元素x在属性Ai下的计数函数为：

定义8设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，对于任意的X⊆U，β∈(0.5,1.0]，定义一般多粒度软下近似和上近似分别为：

性质1设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，任意的X⊆U，β∈(0.5,1.0]，有以下性质成立。

性质2设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，任意的X，Y⊆U，β∈(0.5,1.0]，有以下性质成立。

定理1设S=(F,E)是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，任意的X⊆U，α,β∈(0.5,1.0]，若α≤β，则有以下性质成立。

定理2设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，任意的X⊆U，β∈(0.5,1.0]，则有以下性质成立：

证明根据定义5、定义6 和定义8，定理2 可直接得证。 □

4 程度多粒度软粗糙集的不确定性度量

定义9 设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，任意的X⊆U，β∈(0.5,1.0]，定义X的程度多粒度软粗糙集的精确度和粗糙度分别为：

性质3设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，任意X,Y⊆U，β∈(0.5,1]，若X⊆Y，则：

性质4设S=(F,E) 是论域U上的一个软集，(F,Ai)(i=1,2,…,m)是论域U上的软子集(Ai⊆E)，任意X⊆U，α,β∈(0.5,1.0]，若α≤β，则：

5 案例分析

例1随着医学的发展，医生专业能力的提升，跨科室检查合作成为了当今最常见的现象。如某群体患上了复杂的眼病，挂了三种科室进行检查：眼科、神经科、肿瘤科。表1描述的是某医院某些患者按照各科做的体检情况，其中U={x1,x2,…,x10}表示患者，表示体检的项目，数字1 表示该病人具有此症状，0 表示该病人无此症状，根据以往数据显示这10位患者中X={x2,x5,x6,x7,x9,x10}曾被诊断为患有某种眼疾Y。三个科室根据各科的专业水准给出诊断结果，眼科医生根据A1={a1,a2,a3}体检结果进行诊断，神经科医生根据项目A2={a2,a4,a6}进行诊断，肿瘤科医生根据A3={a4,a5}体检结果进行诊断。最后医院根据三个科室的诊断结果和以往数据分析再做出最后诊断结论，如若这三个科室中有两科认为该人患了此眼疾Y，则该患者就被确诊患了此眼疾Y，诊断方案就按照该眼病Y进行制定。

Table 1 Physical examination report of ophthalmic patients in a hospital表1 某医院眼病患者的体检报告情况表

Table 2 Count function values of diagnosis results for ophthalmic patients from different departments表2 各科室对眼病患者诊断结果的计数函数值

（1）请问哪些人一定会被诊断为患此眼病Y；

（2）请问哪些人可能被诊断为患此眼病Y。

根据表1中的结果，可以计算得：

其中，F是一个集值映射F：V→P(U)。若取，根据程度多粒度软粗糙上下近似算子的定义和表2中的计数函数值可得：

因此根据体检报告和以往数据分析，可得x2、x5、x6、x7、x9、x10这几位病人一定会被诊断为患此眼病Y，而这10 个人都可能会被诊断为患此眼病Y。

6 结论

多粒度发展至今，已经取得了显著的研究成果。本文的主要贡献是建立了介于乐观多粒度软粗糙集和悲观多粒度软粗糙集的一种模型，即程度多粒度软粗糙集模型。此外，在所建模型的基础上，讨论了各近似算子的性质，并给出了程度多粒度软粗糙集粗糙度和近似精度的定义。另外，还用医生诊病的案例验证了模型的实用性。本文模型的建立完善了多粒度软粗糙集理论，也为后续研究奠定了基础。