高 璐，姚炳学

(聊城大学 数学科学学院，山东 聊城 252059)

0 引言

粗糙集理论是由Pawlak于1982年提出的一种能够处理信息系统中知识的不确定性、粒度性和不完备性的数学工具[1]。其理论核心是一对基于论域上等价关系的近似算子。由于等价关系过于苛刻，人们把等价关系放宽为一般的(模糊)关系或者(模糊)覆盖，引入了各种各样的广义粗糙集[2-5]。

覆盖粗糙集是Pawlak粗糙集的重要推广，是由Zakowski[6]最先引入的。近十年来，覆盖粗糙集[7-9]及其模糊推广[10-15]，一直是粗糙集领域的研究热点。例如，文献[9]通过覆盖直接定义上、下近似算子；文献[2，3]则结合覆盖生成的邻域来研究上、下近似算子；文献[7]更是从元素、粒子和子系统等多个视角出发，建立了一般覆盖粗糙近似算子的理论框架。类似于经典的覆盖粗糙集，文献[11]从模糊覆盖直接定义上、下近似算子；文献[15]借助模糊覆盖生成的邻域来研究近似算子；文献[12]探讨了模糊覆盖粗糙集的公理化问题；文献[13]建立了模糊β-覆盖粗糙集理论。

对应于经典集合论中的补集，模糊集理论中的补集也是不可或缺的，通常是通过单位区间[0，1]上的标准否定算子N:a1-a来定义模糊集的补集。但是除标准否定外，[0，1]上还有很多不依赖于减法“-”的否定算子；而且标准否定很难推广到更一般的格上。于是人们通过一般的否定算子来定义模糊集的补集，所得结果自然更具普遍意义。如文献[12，16-18]即是通过一般的否定算子来定义并研究基于模糊关系和模糊覆盖的粗糙集。特别地，借助完全分配格上的否定算子，文献[18]研究了模糊覆盖生成的邻域和补邻域，并进一步建立了完全分配格上的模糊覆盖粗糙集新模型。

2020年，文献[10]引入了几种新颖而有趣的模糊覆盖粗糙集-基于隶属度和隶属函数的模糊覆盖粗糙集。二者分别着眼于模糊覆盖中成员对目标模糊集在局部和整体上的包含。因此，文献[10]中的模糊覆盖粗糙集具有了一些以往粗糙集所不具有的性质。

本文将在文献[10]的基础上对基于隶属函数的模糊覆盖粗糙集展开进一步研究：基于单位区间[0，1]上的否定算子N，我们将引入基于隶属函数的模糊覆盖粗糙集新模型，研究新模型的基本性质，并建立其与已有粗糙集模型的联系。另外，文献[10]指出模糊覆盖近似算子不再具有Pawlak粗糙近似算子的部分性质，但并未给出这些性质成立的条件。本文将对我们的近似算子不满足的性质，给出其成立的充要条件。

1 预备知识

设R为论域U上的一个等价关系，称(U，R)为一个近似空间，并记U/R={[x]R|x∈U}，其中[x]R={y∈U|(x，y)∈R}是x的等价类。

命题1[1]设(U，R)为一个近似空间，X，Y⊆U，记～X为X的补集。

基于覆盖的粗糙集有多种形式的定义，下面给出其中一种，可以看做文献[10]中模糊覆盖粗糙集的特殊情形。

定义3[6]设(U，C)为覆盖近似空间。对任意A⊆U，定义A的上、下近似为

2 模糊覆盖粗糙集

首先回顾有关模糊集和模糊覆盖的基本知识。

定义4[5]若映射N:[0，1]→[0，1]满足N(0)=1，N(1)=0，a≤b⟹N(b)≤N(a)，∀a，b∈[0，1]，则称N为[0，1]上的一个否定算子。特别地，若N还满足NN(a)=a，∀a∈[0，1]，则称N为[0，1]上的一个对合否定算子。此时，有德摩根对偶律成立

式中I为任一指标集。当N(a)=1-a时，称N为[0，1]上的标准否定算子，简称标准否定。

若不做特别说明，文中出现的N为[0，1]上的对合否定算子。

当N为标准否定时，记NA为～A。

为区别稍后引入的新模型，我们称文献[10]中的粗糙集为基于隶属函数的第一型模糊覆盖粗糙集。

3 基于隶属函数的模糊覆盖粗糙集新模型

本节引入基于隶属函数的模糊覆盖粗糙集新模型，并研究其基本性质。

接下来，我们给出基于隶属函数的第二型模糊覆盖近似算子的基本性质。

(2H) 可由(3H)推得。

因此，(6L)得证。类似可证(6H)。

(8LI)和(8HI)分别由(3L)和(3H)推得。

即使对分明覆盖，性质

一般也不成立。下面的命题给出了使得上式成立的充分必要条件。

证明仅证(1)(3)，(2)(4)类似可证。

另一边由(5LR)可得。故等式成立。

即条件(ML)成立。

综上有

下例说明上、下近似一般不满足对偶性

证明仅证第一个等式，第二个类似。

注记2文献[10]指出当N为标准否定时，基于隶属函数的第一型模糊覆盖上、下近似不满足对偶性。因标准否定是特殊的对合否定，由定理1知，基于隶属函数的第二型模糊覆盖上、下近似其实与第一型模糊覆盖下、上近似是对偶的。

这表明我们所提出的基于隶属函数的第二型模糊覆盖粗糙集与Pawlak粗糙集虽有密切联系，但它却不是Pawlak粗糙集的直接推广，而是一种新的粗糙集模型。

4 β-模糊覆盖粗糙集新模型

本节引入基于隶属函数的β-模糊覆盖粗糙集新模型，并研究其基本性质。

因此，当β=1时，基于隶属函数的第二型β-模糊覆盖粗糙集就是基于隶属函数第二型模糊覆盖粗糙集。换言之，基于隶属函数的第二型β-模糊覆盖粗糙集是基于隶属函数的第二型模糊覆盖粗糙集的推广。

接下来，我们给出基于隶属函数的第二型β-模糊覆盖近似算子的基本性质。

证(1L)对任意x∈U，根据定义9，有

(2H) 可由(1H)推得。

类似可证(6H)。

下例说明上、下近似一般不满足对偶性

所以上下近似不满足对偶性。

证明仅证第一个等式，第二个可类似证明，

注记5 文献[10]指出当N为标准否定时，基于隶属函数的第一型β-模糊覆盖上、下近似不满足对偶性，因标准否定是特殊的对合否定，由定理2知，基于隶属函数的第二型β-模糊覆盖的上、下近似其实与第一型模糊覆盖下、上近似是对偶的。

注记6 因为基于隶属函数的第二型β-模糊覆盖粗糙集是基于隶属函数的第二型模糊覆盖粗糙集的推广，而后者是Pawlak粗糙集的推广。因此，基于隶属函数的第二型β-模糊覆盖粗糙集也是Pawlak粗糙集的推广。

注记7 前文中我们一直考虑N为对合否定，在非对合否定情形下，不少结论仍是成立的，如命题2中的(1L)，(1H)，(2L)，(2H)，(3L)，(3H)，(6L)，(6H)，(8LI)，(8HI)与命题4中的(1L)，(1H)，(2L)，(2H)，(3L)，(3H)，(6L)，(6H)，证明过程由命题2和命题4可知，这里不再赘述。

5 结语

本文结合单位区间[0，1]上的否定运算N，引入了基于隶属函数的模糊覆盖粗糙集新模型，研究了其基本性质，并探讨了它们与已有粗糙集模型的联系。特别地，我们证明了当N为标准否定时，新模型的上、下近似与文献[10]中的下、上近似是对偶的。需要指出的是，无论是本文还是文献[10]中近似算子的定义，模糊覆盖中成员对目标模糊集的包含都是二值的，即要么包含要么不包含。未来工作中，我们将考虑用包含度来代替包含关系来研究模糊粗糙集模型。