谢淋淋,林国平

（闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000）

程度粗糙集是1996年姚一豫提出的[1],通过用逻辑语言分析粗糙集模型,给出了绝对量化信息和相对量化信息的定义.相对量化信息与绝对量化信息是描述目标概念与等价类之间重合部分的两种不同视角的表示方法.根据上述绝对量化信息的定义,产生了一个新的模型:程度粗糙集模型.与概率粗糙集模型不同,程度粗糙集模型是从绝对量化信息的角度分析目标概念与等价类之间的重叠部分的一个代表性的模型.通过引入程度参数k调节模型的精度和适用性.用更直观的角度去表示重合部分.

通过分析绝对量化信息和相对量化、信息相似性和差异性,可以知道二者相辅相成,缺一不可.故为了避免数据分析的过程中产生误判,张贤勇等[2-3]将变精度粗糙集与程度粗糙集用逻辑联结词进行组合引入了双量化粗糙集模型,通过分析得出双量化粗糙集模型具有双重容错的优势.其他学者们也通过将不同的由相对量化信息生成的粗糙集模型与程度粗糙集模型进行结合从而产生不同的双量化粗糙集及其延伸模型[4-11].由于生活中不只存在分类型数据,还有连续性数据等其他的数据类型.但是,程度粗糙集仍然还有其局限性.目前,仍然缺少用t-范数和模糊t-余范数定义的模糊相似关系产生的程度模糊粗糙集的相关介绍.所以本文先引入程度模糊粗糙集.

为了解决程度模糊粗糙集模型中可能存在的全监督数据的缺少以及计算效率不够高的问题,故又提出将局部的概念[12]应用于程度模糊粗糙集模型进而产生局部模糊粗糙集模型.由于模型的下近似只考虑模糊目标概念中的那些模糊对象,所以此模型的计算效率就被大大提高.其他的学者也讨论了局部模糊粗糙集模型的性质及其约简情况[13].考虑到模型的适用性,学者们在粗糙模糊集的基础上提出了双量化粗糙模糊集模型[14-15].有学者提出相应的双量化模糊粗糙集模型,但是考虑到双量化模糊粗糙集的计算效率还是不够高,可能会产生过拟合结果,故仅仅只讨论双量化模糊粗糙集模型不足以解决问题,而且还需要大量的监督数据才能执行,本文结合相应的局部模糊粗糙集模型与局部程度模糊粗糙集模型，产生局部模糊双量化模糊粗糙集模型.

1 预备知识

为了行文方便,在下面的讨论过程中,设U是论域,是在U上的模糊T-相似关系.∈F(U)为一个模糊集,是定义在F(U)×F(U)上的包含度.

定义1设I=(U,)是一个模糊信息系统.其中U是非空论域,是一个T-相似关系.xλ是模糊点,x∈U,λ∈(0,1],那么对任意的目标概念∈F(U),它的α-局部下近似和β-局部上近似分别定义为:

定义2[4]设I=(U,R)是一个信息系统,X关于R的局部程度上、下近似分别为

定义3[15]设I=(U,R)是一个信息系统,R是一个等价关系.给定两个参数α,β(0≤β<α≤1),对任意的目标概念X⊆U,基于参数α,β的上、下近似分别定义为

2 局部双量化模糊粗糙集模型（LDQFRS）

为了合成局部双量化模糊粗糙集,在第2 节介绍的基础知识的基础上,可以发现定义3 是由在论域上的等价关系提出的,且目标概念为分明集.然而,在目前的实际应用中常常需要面对模糊的目标概念.为了提高模型适用性,对象与对象之间的关系也不再局限于等价关系,而是扩充到了模糊相似关系.故与程度粗糙模糊集相似,程度模糊粗糙集亟需被提出.

下文先提出一个程度模糊粗糙集模型与局部程度模糊粗糙集模型,分别从全局和局部的方向用绝对量化信息去近似模糊的目标概念.

2.1 程度模糊粗糙集（GFRS）

程度粗糙集模型是由姚一豫率先提出的.程度粗糙集模型作为用绝对量化信息近似目标概念的一个代表性模型,在实际应用中有无法替代的位置.为了拓宽模型的适用性,相应的程度粗糙模糊集模型、局部程度粗糙集模型被依次提出,然而缺乏应用于模糊目标概念及模糊相似关系的程度模糊粗糙集.本文需先定义程度模糊粗糙集.

在局部模糊粗糙集模型中,往往使用如下包含度的定义讨论目标概念和模糊相似类的关系,即

故可仿照程度粗糙集的定义,将包含度的分子部分作为程度模糊粗糙集中模糊相似类相对于目标概念的内部程度;而将包含度的分母部分与分子部分的差定义为相应的外部程度,从而给出程度模糊粗糙集的如下具体定义.

定义4设I=(U,)是一个模糊信息系统,为一个模糊的目标概念,k为可接受的容错程度,k为非负常数.关于的局部模糊程度上、下近似分别为：

2.2 局部程度模糊粗糙集（LGFRS）

程度模糊粗糙集在很大程度上提升模型的应用性.但是，局部模糊粗糙集模型的提出，使原先模型中可能存在的属性约简过拟合、计算效率提升，以及未标记数据的广泛存在等问题都得到了很大程度的解决.故下面本文给出局部程度模糊粗糙集的定义.

定义5设I=(U,)是一个模糊信息系统,为一个模糊的目标概念,k为可接受的容错程度,k为非负常数.关于的局部模糊程度上、下近似分别为

显然,当k=0时,上述定义退化为模糊粗糙集.

2.3 局部双量化模糊粗糙集（LDQFRS）

本节由局部模糊粗糙集与上节所提出的局部程度模糊粗糙集进行结合,提出以下局部双量化模糊粗糙集模型.

定义6绝对量化信息与相对量化信息结合的方式有四种,故可以提出四种局部双量化模糊粗糙集模型

不失一般性,下文仅考虑讨论第4 个模型,因为两个原因：一是此模型更符合实际应用中的精确要求;二是另外三种模型与局部程度模糊粗糙集关联较大,分析结果不够明显.

算法1LDQFRS模型关于目标概念的上下近似.

输入一个模糊信息系统(U,),一个模糊目标概念,决策风险参数α,β且程度参数k.

输出

步骤1对每个x∈计算相应的

步骤2

步骤3对每个x∈,若>k,则

步骤4对每个x∈,若

步骤5返回

为了进行算法比较,这里需要提出全局双量化模糊粗糙集模型,即

与局部双量化模糊粗糙集模型的上、下近似算法的分析相似,通过相应分析可知,全局双量化模糊粗糙集模型的上、下近似算法的步骤1 的计算的时间复杂度为O(|U|2),步骤3-4 计算以及的过程的时间复杂度为其余步骤计算的时间复杂度为常数.所以,当目标概念总数远小于论域的数目时,总的时间复杂度近似为O(|U|2).

定理1给定一个模糊信息系统(U,),目标概念∈F(U).局部双量化模糊粗糙集对一个目标概念的上、下近似算法的时间复杂度相对于全局双量化模糊粗糙集对一个目标概念的上、下近似算法的时间复杂度减少为后者的

证明根据前面的算法分析可知,局部双量化模糊粗糙集对一个目标概念的上、下近似算法的时间复杂度相对于全局双量化模糊粗糙集,对一个目标概念的上、下近似算法的时间复杂度减少,为后者的概率为p,有

定理2

证明根据定义1、定义5 及定义6 可以知道:若∀x∈有则且即且故此时有综上所述同理可证

2.4 DQFRS模型的特殊性质

设(U,)是一个模糊信息系统,对任意模糊子集∈F(U),可以得出以下结论,

4)令k1,k2∈N且k1

证明1)对∀⊆F(U)若则由定义6 中的具体定义可知x∈即得证.

3)当α1<α2,β1<β2,对任意k∈N,有且有成立.根据定理2有和成立.

4)当k1

6)当k>0,对 任意∈F(U),有当k=0 时有和因此,由定理2 可得即同理又因为和所以同理及成立,所以有且得证.

7)任意∈F(U),有且因此,同理可得因 此由于对任意∈F(U),有因为性质6）证明过程得式子:故可证成立.同理对任意∈F(U),有成立,又故可得成立.

8)当α=1,β=0,k=0,此时成立,故故也成立.

3 例析

例1给定一个模糊信息系统(U,),其中U={u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8}.给定U上的一个模糊T-相似关系为:

这里考虑使用Lukasiewiczt-范数,和一个特殊的余范数,它们分别为

TL(x，y)=max{0，x+y-1}，SL(x，y)=min{1，x+y}.

根据表1的计算结果可得

通过进一步地分析可以知道,当只使用LFRS模型,即只考虑包含度的取值时,与的包含度取值相同,都为1,故在某些情况下α,β的取值不容易将它们区分,就是说参数α,β的取值会对结果产生很大影响.但是此时通过用LGFRS 模型可知,它们在的取值不同,所以可以通过使用LGFRS 模型区分.

综上例题分析可以清楚得到LFRS 模型与LGFRS 模型都有很好的实际意义,若将它们根据实际问题的需要进行结合,得到的双量化模型有其独特的双容错率,可以进行更准确的分析,得到更精确的结论.

4 结语

绝对量化信息与相对量化信息都可以用以表示模糊相似类与目标概念的重叠部分,通过在模型中结合使用这两种量化信息可以有双重容错率.本文重点讨论了将局部程度模糊粗糙集与局部模糊粗糙集进行逻辑合取之后产生的局部双量化模糊粗糙集模型,进一步分析其性质,并用一个例子体现了其实用性和高效性.后续研究可以通过借鉴局部模糊粗糙集的属性约简方法,进一步提出此模型的决策规则以及属性约简方法,还可以根据此模型的特性提出特殊的属性约简方法.