方 侃,陈晓英

（福州大学至诚学院,福建福州350001）

单种群Logistic 模型是非常经典的生物数学模型，此前学者已证明该模型有唯一的正平衡点x*=1，该正平衡点是无条件局部渐近稳定和全局渐近稳定的.式(1)如下：

其中r是正数.

Allee效应描述的是一个密度依赖相关性，即个体适合度随着种群密度或大小的降低而降低的现象.当种群密度低于某一阙值的时候，生育率会低于死亡率，而使种群密度进一步缩小直到灭绝.近年来，众多学者都在研究生物数学模型加Allee 效应[1-8].其中单种群Logistic 模型加Allee 效应的动力学行为可以从文献[5]得到，即式(2)存在同样唯一的正平衡点x*=1也是全局渐近稳定的，说明Allee效应没有改变此系统的稳定性.式(2)如下：

其中r,β都是正数.

文献[4]研究了加Allee效应的Lotka-Vloterra捕食食饵模型，证明了虽然Allee效应没有改变此系统正平衡点的稳定性，但是花了更多的时间去达到这个平衡状态，并且Allee效应同时减少了捕食者和食饵在平衡状态的种群密度.式(3)如下：

其中r,a,β都是正数.

反馈控制变量代表了人类的捕获[9]，是导致种群数量减少的一个重要因素之一.文献[9]提出了单种群Logistic 模型加反馈控制的模型，得到的唯一正平衡点也是全局稳定的，

最终证明了反馈控制变量只是改变了平衡点的位置，没有影响单种群Logistic 模型的动力学行为.式(4)如下：

其中b,r,a,c都是正数.

文献[1]提出了单种群Logistic模型加Allee效应和反馈控制的新模型：

其中b,r,a,β,c都是正数.并讨论了这个模型的平衡点的存在性和局部稳定性……