罗 洁,钱 钧

(南开大学 物理科学学院，天津 300071)

分形理论是上个世纪80年代兴起的学科，它研究的对象往往是没有特征长度却具有自相似性的复杂结构[1-3].分形可分为“规则分形”和“无规分形”两类，规则分形是按照一定规则构造出的具有严格自相似性的分类[1,4,5],如科赫(Koch)曲线等；无规分形是在自然界和许多物理问题中产生的分形，如海岸线，云彩，湍流等等.1982年美国学者曼德布罗特(B.B.Mandelbort)出版了著名专著《自然界中的分形几何》(The Fractal Geometry of Nature)，标志着分形理论的初步形成.近年来，分形在物理学中的研究蓬勃发展，在相变、湍流、自组织、分形生长等领域都有相关的研究进展[2].

纸团是生活中常见的无规则分形结构，在疫情期间，我校面向一、二年级本科生开设了学生居家物理实验，其中“揉纸团”实验由于材料准备简单、动手测量相对容易，选做的同学较多.本文研究了“揉纸团”实验中的分形现象，引入内部无规则纸团中分形维数的定义，并通过实验测量和讨论了不同纸张硬度以及纸张层数等对纸团分形维数的影响.

1 纸团的分形维数

1.1 分形维数的定义

分形结构具有自相似性，这里的自相似性是指：从不同的空间尺度来看，或者对局部和整体进行放大或缩小后来看，结构都是相似的.但是，表征这种自相似结构的定量性质如分形维数，并不会由于放大或者缩小等操作而变化，这一点被称为“伸缩对称性”，或者叫“标度不变性”.自相似性和标度不变性是分形的两个重……