山东省济宁市微山县第一中学(277600) 殷维莹

山东省济宁市微山县第二实验小学(277600) 卓晴晴

山东省济宁市微山县第一中学(277600) 朱广军

在高二期末测试题中出现了这样一道压轴题,这道试题很好地考查学生的基本知识、基本技能和数学基本素养及对课本的研读,对教材的教学也有指导意义.此题目的原型出自人民教育出版社(A 版)必修2 第三章习题4.2 B 组第5 题,以圆为题干改为椭圆为题干.进一步思考,发现这道试题可以从特殊到一般进行研究得到一些常考查的结论.现将一些思考整理成文,与读者交流.

1 题目呈现及解法分析

(1)求AB的直线方程.

(2)证明: ∠F1PA=∠F2PB

此类以直线和椭圆位置关系为背景的试题,我们习惯于选择通性通法——联立方程组解决,方法如下:

证明(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程3x1x+4y1y−12=0,直线PB的方程3x2x+4y2y−12=0,所以点P(1,2) 满足上述直线方程3x1+ 8y1−12 = 0,3x2+8y2−12=0,所以AB的直线方程3x+8y −12=0.

(2)设过点P(1,2)与椭圆相切的直线方程为y=k(x −1)+2,α,β为直线PA,PB倾斜角整理得(3 + 4k2)y2+ 8k(2−k)y+ 4(2−k)2−12 =0,Δ = [8k(2−k)]2−4(3 + 4k2)[4(2−k)2−12] = 0,3k2+4k −1 = 0,kP A+kP B=因为

评析: 求角度的大小一般借助于三角函数,上述问题中应用正切求角度相等,两条切线值没有具体求出,应用设而不求思想整体代入方法得到结论.此题也可用向量的数量积或余弦定理求解,但是需要计算出点A和点B的坐标,较为复杂,同时不能很好的体现解析几何中设而不求的思想方法,故而选择正切值转化为斜率整体代入的方法求解.

作为平面几何问题,此题可以通过椭圆的几何性质,利用三角形相似直接得到角度相等(如图1),过程如下:

图1

证明分别……