江苏省镇江市句容市江苏省句容高级中学(212400) 石秀成 汪勇建

圆锥曲线是高中数学解析几何单元的核心内容,也是高考数学必考的知识内容,且经常作为高考的压轴题出现,由此可见其本身的重要性和挑战性.圆锥曲线的挑战性一方面体现在其繁杂易错的运算量上,另一方面体现在联动表象下的定性关系,如定点定值等.因此对学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的要求较高.而圆锥曲线之间又有着许多共性和相似性,如果在解决问题的基础上进行抽丝剥茧,透过现象看本质,能够拓展出一般性的结论,将对问题的生成和理解有更深刻的认识,也是对数学核心素养的提升.本文笔者通过一道圆锥曲线联考题来进行探究和拓展,引导学生把握命题规律、看清试题本质,以期为数学的教学和学习提供一些思考.

1 试题呈现

(2020年镇江大市联考第22 题) 在平面直角坐标系xOy中,有三条曲线:= 1(0< m <4),=1(n>0),3○y2=2px(p>0).

请从中选择合适的一条作为曲线C,使得曲线C满足:点F(1,0)为曲线C的焦点,直线y=x −1 被曲线C截得的弦长为8.

(1)请求出曲线C的方程;

(2)设A,B为曲线C上两个异于原点的不同动点,且OA与OB的斜率之和为1,过点F作直线AB的垂线,垂足为H,问是否存在定点M,使得线段MH的长度为定值?若存在,请求出点M的坐标和线段MH的长度;若不存在,请说明理由.

2 试题解答

解: 选择曲线3○y2=2px(p>0).

(1) 点F(1,0) 为曲线C的焦点,所以= 1,解得p= 2,即y2= 4x.设直线y=x −1 与曲线C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,联立y=x −1 与y2=4x消元得x2−6x+1=0,显然Δ>0,由韦达定理得x1+x2=6.因为直线y=x −1 过焦点F……