徐梦娇

[摘  要] 文章记述了“平均数”一课的教学过程。通过教学实践，研究者提出建模教学中需为学生提供问题探究的过程，使其感悟抽象思想;需让学生从操作中发现规律和问题，使其感知模型思想;需让学生经历深度思考的过程，使其领会模型思想。

[关键词] 平均数;模型思想;经历;小学数学

模型反映了大千世界中事物蕴含的共性，模型思想是学生感悟数学与生活的重要途径，也是数学核心素养的重要内容，由此可见其在数学学习中的重要地位。因此，教师要有意识地将其渗透到数学活动之中，让学生真实地感受到抽象建模的过程，从而建立模型思想，提升核心素养。在课堂上如何让学生经历有过程的学习，深刻感受建模的抽象和转化呢？笔者以“平均数”为课题进行尝试，让学生在经历解决问题的过程中，初步建立平均数模型思想。

一、教学实录

教学片段1：趣味情境——指向已有经验，让学生积极参与学习过程

师：套圈的游戏你们是否参与过？大家快看，那边有一群同学正在举行套圈的比赛呢！（PPT出示情境图）

师：他们的比赛男女生分开进行，每个人可以套圈15个，统计所得的信息如图1所示，从中你能得出哪些信息呢？

生：共有3名男生参加比赛，套圈成绩分别为5个，9个，4个;共有4名女生参加比赛，套圈成绩分别为10个，2个，5个，3个。

师：那大家再来思考一下，男生与女生相比，哪个套得更准一些？（学生展开了火热的讨论，有的认为是男生，有的认为是女生，一场辩论赛拉开序幕）

师：看来我们的小朋友还没有统一的意见。那我们先邀请认为“女生套得更准一些”的同学说一说他们的理解。

生1：套圈游戏中，套中最多的是女生，其中有一个套中了10个。

师：以一名女生的成绩来断定所有女生的水平，你们觉得这样的判定方式合理吗？

生2：很明显是不合理的。你们看，还有一名女生只套中了2个，是个数最少的一个。

生3：女生套中的总数多一些，我认为她们更准一些。

生4：不一定，她们人数也多一些啊！

师：生4的观察很仔细，他发现男生与女生的人数不相等。看来，我们遇到麻烦了！单个人之间进行比较又不合理，总数相比又不合适，那如何比較才能真正做到公平合理呢？

生5：如果让所有男生的套圈个数相同，让所有女生也相同，那就可以比较了。

师：很有创意的想法，老师大概明白你的意思了，就是将每名男生套中的个数均匀地分一分，使得每名男生套中个数相同;将每名女生套中的个数也均匀地分一分，使得每名女生套中个数相同。这样一来，我们只需任意选择一名男生和一名女生比较即可。是这样吗？

生5：对的。

师：其他同学明白了吗？你们认为这样公平吗？

生（齐）：公平！

教学片段2：实践操作——指向数学直观判断，让学生获得模型感知

师：那如何才能让他们每人套中的个数一样呢？大家看，这里有一张学具板，请以男生为例，并利用好这张学具板分组讨论。（学生展开讨论）

生6：我们组将多的移给少的，男生中套中最多的是9个，分给其他两人各1个，那3人个数分别为6、7、5，再从7里拿出1个给5，则3人套中个数就都为6个了。（学具板演示）

师：这种方法在数学上称为“移多补少法”，这种方法大家觉得好吗？还有其他方法吗？

生7：3个人中套得最少的男生是4个，可以以4为底数，将多下来的都加在一起1+5=6，再将这6个平均到3个人，由此每人套中6个。（同样通过学具板演示）

师：设置底数，并将多出的合在一起，最后平均分，不错！还有其他方法吗？

生8：把所有的都合在一起，然后一个一个平均分，每人可分到6个。（操作学具演示）

师：不错的方法，就是比较耗时，还有更简单的方法吗？

生9：直接列算式为5+9+4=18（个），18÷3=6（个）。

师：那这里的每个数各表示什么呢？算式又有何意义？6表示什么？

生10：将3个男生套中个数合起来，再平均分到每个男生，每人可以分到6个。6就是平均每个男生套中的个数。

师：你们真厉害！

教学片段3：深度思考——经历活动过程，让学生感悟模型思想

师：那每个男生实际都套中了6个吗？

生11：肯定不是啊，每个男生实际套中的个数都是不一样的，6仅仅是假设而得的一个数。

师：不错，6在这里只是反映男生的平均水平。那么，对比男生每人实际套中的个数与平均数，你有何发现？

生12：这个平均数比套中最多个数9要小，而比最小的数4大一些。

生13：这个平均数在4和9之间。

师：总结得很有道理，平均数在最大数和最小数之间。

师：那我们一起来猜测一下，女生套圈的平均数是多少？

生14：肯定比10小，比2大。

生15：我猜可能是5。

师：那我们一起来验证一下吧！

生16：10+2+5+3=20（个），20÷4=5（个）。

师：那还有人用移多补少法或其他方法吗？

生17：女生的人数太多了，而且个数相差较大，其他方法运用起来比较浪费时间，不如计算简便。（其他同学点头赞同）

师：真是会动脑筋的好孩子！看来不管在什么情况下，都可以用“总数÷份数”来求得平均数这种方法……

二、建立模型思想的有效途径

1.为学生提供问题探究的过程，感悟模型思想

数学教材是学生学习活动的重要资源。教师在运用教材时，不能生搬硬造，而需深入理解教材，并创造性地使用教材，在课堂上设置有效的教学情境，通过有价值、有思维含量的问题设置引领学生去操作、去思考、去发现、去验证，从而有效地锻炼和发展学生的思维，同时让模型思想初见端倪。游戏是激起学生兴趣的载体，问题情境是学生思维的动力。本课中，教师致力于以趣味性游戏为载体引入新课，充分调动学生的学习积极性。问题的设计也是从学生的生活入手，通过问题“男生与女生相比，哪个套得更准一些？”将学生的注意力吸引到对数学问题的研究上去，使学生经历了从游戏到数学的自然过渡，实现了新知的导入，而这里思维活动和数学猜想都是由“已有知识”逐步演变而来，从而为下一步的抽象和建模作好了铺垫[1]。

2. 从操作中发现规律和问题，感知模型思想

教材中的大部分问题所呈现的都是规范性问题，而建模问题的猜想、抽象和转化这一重要环节已然省略，而这一环节可以让学生感受到过程探究的必要性。问题的解决是学生领会模型思想的有利契机。为此，本课中教师有意识地引导学生去实践操作，让学生真切感受模型的抽象和转化。在这个过程中，教师放慢脚步，让学生从动手操作的过程中，逐步找寻到数学关系和规律，将操作中的状态和数学中的原理实行对接。通过对学具板的移移补补，让学生获得感知，逐步发现平均的方法，从而深刻理解平均的意义，初步感知平均数模型[2]。

3.让学生经历深度思考的过程，领会模型思想

数学思考是数学学习的关键一步，对问题的推广本质上就是以挑战性思考引导学生深度理解该模型，是发展学生模型思想的关键。这就需要教师善于设问于学生的最近发展区，为学生更深入地思考问题提供可能。本课中，教师留出时间给学生思考和反思建模的过程，让学生感悟到套圈游戏中平均数的意义，从而让学生把游戏从具体的操作推广到一般。在建模的过程中，发展学生的想象力，强化模型思想的领悟[3]。

总之，在学生的头脑中固化模型思想是一个循序渐进的漫长过程，需要教师一以贯之地重视和渗透，结合学生的实际水平逐步推进，让学生经历数学活动的过程，为学生创造感悟和反思的时机，使其经历一个从模糊到清晰的领悟过程，让思维混乱的学生逐步学会思考，并在不断体悟中获得模型思想，从而逐步内化为自身的一种核心素养。

参考文献：

[1]  杨承军. 义务教育阶段渗透数学模型思想的意义与策略探究[J].教育评论，2014（4）.

[2]  史宁中，孔凡哲. 方程思想及其课程教学[J]. 课程·教材·教法，2004，24（9）.

[3]  陈德前. 培养学生模型思想的实践与思考[J]. 中学数学教学参考，2014（z1）.