高 龙,王丽萍,贾珊珊,罗利萍,邱 芬

(河北师范大学 数学科学学院,河北石家庄 050024)

§1 引言

在单复变函数理论中,关于奇异积分算子性质的研究一直是国际上非常活跃的研究课题之一.它在解决复变函数的边值问题上具有重要意义,并且奇异积分也不断地与其它的数学分支交叉融合.例如调和分析,位势理论,算子代数,偏微分方程和数值逼近等.

四元数是由爱尔兰数学家Hamilton于1843年发现的,这是19 世纪代数学最大的事件之一.四元数分析是现代分析的重要分支,它推广了平面复数系结构.其主要研究定义在R3或R4空间,取值于H(R)或H(C)空间上的函数.国内外许多学者对四元数分析与Clifford分析中一些奇异积分算子的性质和应用进行了深入研究.例如Spr¨ossig[1-3],Adler[4],Du[5-6],Qiao[7-9],Wang[10-14]等等.Helmholtz方程是高维空间一类重要的偏微分方程,是Laplace算子的一种自然推广.其中α-超全纯Cauchy-Riemann算子是Helmholtz算子的分解.Timeharmonic Maxwell方程是由Maxwell于1865年提出的.它是描述电磁现象的偏微分方程组.此外Time-harmonic Maxwell方程的解满足齐次Helmholtz方程,因此这两类方程之间存在密切的联系.许多学者研究了与Helmholtz方程和Time-harmonic Maxwell方程相关的一些问题.例如Mclntosh和Mitrea[15-16]讨论了与Helmholtz方程和Maxwell方程有关的一些问题,Schneider和Shapiro[17-18]研究了与Time-harmonic Maxwell方程相关的Cauchy型积分的一些性质,Abreu-Blaya[19]和Gu[20]研究了与Time-harmonic Maxwell方程和修正的Helmholtz方程有关的边值问题.

本文研究与Time-harmonic Maxwell方程有关的Cauchy型积分算子的一些性质,结构安排如下: §2回顾有关四元数分析的一些基本知识以及与HelmHoltz方程有关的Cauchy型积分算子的一些结论. §3介绍N矩阵算子,并研究与N矩阵算子……