施 云

(浙江科技学院理学院,浙江杭州 310023)

§1 引言

Araklov在紧Riemann面上利用Bergman度量的Green函数构造了一个共形不变度量[1].Leutwiler在Rn的局部邻域上构造了一个类似的共形不变度量[2].Harbermann和Jost在数量曲率为正的局部共形平坦流形上构造了一个标准共形不变度量[3-4].在此之后,王伟构造了CR流形上的Yamabe算子,数量曲率为正的球型CR流形上Green函数,并用此Green函数构造了上述共形不变度量[5].在[6]中,作者研究了四元切触版本的上述问题,构造了四元切触流形上的Yamabe算子,数量曲率为正的球型四元切触流形上Green函数,并用此Green函数构造了一个共形不变张量,证明了该共形不变张量在四元切触正质量猜测成立的情况下是一个共形不变度量.最近此研究推广到了八元切触流形上[7].在[8]中还给出了Heisenberg群上邻域版本的上述共形不变切触形式,并由此切触形式构造了一个邻域上的拟双曲Carnot-Carath´eodory不变度量.

本文利用Paneitz算子对应的Green函数在局部共形平坦流形上构造了上述共形不变度量.

§2介绍了Riemann几何的一些基本概念,给出了Riemann流形上的Paneitz算子以及Q曲率的定义并介绍了[9-10]中给出的Riemann流形上Paneitz算子对应的正质量定理. §3证明了本文的主要定理,即应用Paneitz算子对应的Green函数以及该Green函数在共形变换下的变换公式,构造出一类新的共形不变度量.最后,给出了该共形不变度量的一些性质.

§2 预备知识

Q曲率首先在[11]中引入,Chang,Gursky,Yang对4维流形上的Paneitz算子和Q曲率进行了深入的研究[12].在此之后,高维流形上的Paneitz算子和Q曲率问题受到越来越多的……