周 炎 (江苏省平潮高级中学 226361)

解析几何是高中数学的主干知识，它紧扣曲线方程、数量关系、几何图形、数形结合等主线，让学生深刻体会到从方程出发用代数方法研究几何问题这一解几本质．在历年的全国高考数学试卷中，解析几何试题一直占据着举足轻重的地位，考生在该题上的成败是决定其最终数学分数高低的重要因素之一．《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出了平面解析几何解决问题的基本过程，即根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题；根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论．笔者以课标精神为引领，对2021年新高考全国I卷第21题第(2)小题进行剖析，逐步发现、优化、解决问题．

1 试题呈现

该题考查双曲线的定义和方程、直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想、逻辑推理能力与数学运算能力．第(1)小题既可以由定义法确定曲线为双曲线的右支，从而确定方程，还可以用直接法进行代数推理求得曲线方程．第(2)小题是过动点的两直线与双曲线相交，当截得的线段长乘积相等时，研究两直线斜率和为定值问题，对学生的思维能力及运算素养提出较高的要求，具有较好的区分度．

2 解法剖析

2.1 立足双基，在熟悉的情境中转化几何问题

思路1题干中的TA·TB=TP·TQ是学生熟悉的直线被曲线所截的弦长问题，如何表示TA·TB是解题的关键，联想到弦长公式，结合设而不求思……